Apolloniův bod

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. července 2019; kontroly vyžadují 9 úprav .

Apolloniův bod Ap je zvláštní bod v trojúhelníku. Je definován jako průsečík čar spojujících vrcholy trojúhelníku s body dotyku 3 kružnic trojúhelníku s kružnicí, která je jim opsána. Souvisí s Apolloniovým problémem . V Encyclopedia of Triangle Centers je označován jako střed trojúhelníku pod názvem X(181).

Příklad použití Apolloniova bodu na řešení Apolloniova problému

Apolloniovým úkolem je sestrojit kružnici tečnou ke třem daným kružnicím pomocí kružítka a pravítka. Jedna z variant tohoto problému, kdy se třetí kružnice vně dotýká tří vnitřních kružnic, je řešena zavedením Apolloniova bodu Ap [1] [2] .

Apolloniův bod Ap v Encyclopedia of Triangle Centers je označován jako střed trojúhelníku pod názvem X(181).
V rámci tohoto problému je Apolloniův kruh (nezaměňovat s Apolloniovými kruhy ) kruh, který se vnitřně dotýká tří kružnic vně trojúhelníku (viz zelený kruh na obrázku).

Obvod Apollonia

Definice Apolloniova kruhu

Nechť je dán trojúhelník ABC . Nechť kružnice trojúhelníku ABC , protilehlé k vrcholům A , B a C , jsou E A , E B , E C (viz obrázek). Potom se kruh Apolloniova E (na obrázku vpravo znázorněný zeleně) vnitřně dotýká tří kružnic trojúhelníku ABC v bodech E A , E B a E C (viz obrázek) [3] .

Řešením konkrétního Apolloniova problému uvedeného výše je naznačená kružnice E tečná ke třem daným kružnicím E A , E B a E C externě.

Poloměr Apolloniovy kružnice

Poloměr Apolloniovy kružnice je , kde r je poloměr vepsané kružnice a s je polovina obvodu trojúhelníku. [čtyři] ${\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}$

Definice Apolloniova bodu Ap

Apolloniův bod Ap nebo X(181) v Encyclopedia of Triangle Centers , popsaný v roce 1987, je definován takto:

Nechť A' , B' a C' jsou tečné body Apolloniovy kružnice E s odpovídajícími kružnicemi. Potom se přímky AA' , BB' a CC' protnou v jednom bodě Ap , který se nazývá Apolloniův bod trojúhelníku ABC .

Jeho trilineární souřadnice jsou:

${\frac {a(b+c)^{2}}{b+ca}}:{\frac {b(c+a)^{2}}{c+ab}}:{\frac {c(a+b)^{2}}{a+bc}}$

Poznámka

Na obrázku je naznačený bod Apolloniova Ap znázorněn jako průsečík tří kolmiček ke stranám trojúhelníku ABC , spuštěných z bodů tečnosti A' , B' a C' s odpovídajícími kružnicemi trojúhelníku ABC . , tvořené spojenými párovými tečnými čarami tří výše uvedených kružnic E A , E B a E C . Přestože tento bod Ap leží v průsečíku tří úseček AA' , BB' a CC' , nejsou kolmé ke stranám trojúhelníku. Jeho průměty do stran trojúhelníku ABC jsou totiž vrcholy rovnostranného trojúhelníku a kolmice ke stranám trojúhelníku se protínají v jeho ortocentru. Průměty ortocentra na strany trojúhelníku nejsou vrcholy rovnostranného trojúhelníku. Ortocentrum a Apolloniův bod Ap se shodují pouze v rovnostranném trojúhelníku. Ostatní trojúhelníky se neshodují.

Nemovitost

Subdermální trojúhelník Apolloniova bodu je rovnostranný trojúhelník .

Trilineární souřadnice

Trilineární souřadnice Apolloniova bodu Ap :

${\frac {a(b+c)^{2}}{b+ca}}:{\frac {b(c+a)^{2}}{c+ab}}:{\frac {c(a+b)^{2}}{a+bc}}$

$=\sin ^{2}A\cos ^{2}({\frac {B}{2}}-{\frac {C}{2}}):\sin ^{2}B\cos ^{2}({\frac {C}{2}}-{\frac {A}{2}}):\sin ^{2}C\cos ^{2}({\frac {A}{2 }}-{\frac {B}{2}}).$

Viz také

Apollonius ukazuje

Poznámky

↑ Kimberling, Clark Apollonius Point . Staženo: 16. května 2012. (neurčitý)
↑ C. Kimberling; Shiko Iwata; Hidetosi Fukagawa. Problém 1091 a řešení // Crux Mathematicorum : deník. - 1987. - Sv. 13 . - str. 217-218 .
↑ Darij Grinberg, Paul Yiu. Apolloniův kruh jako Tuckerův kruh // Forum Geometricorum. - 2002. - Vydání. 2 . - S. 175-182 .
↑ Milorad R. Stevanovi´c. Apolloniův kruh a související trojúhelníková centra // Forum Geometricorum. - 2003. - Vydání. 3 . - S. 187-195. .