Trojúhelníková funkce

Trojúhelníková funkce , trojúhelníkový impuls je speciální matematická funkce , definovaná jako po částech lineární ve tvaru:

\operatorname {tri} (t)=\land (t)={\begin{cases}1-|t|;&|t|<1\\0&{\mbox{jinak}}\end{cases }},

nebo prostřednictvím konvoluce dvou jednotkových pravoúhlých funkcí :

{\begin{aligned}\operatorname {tri} (t)=\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\quad &{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (\tau )\cdot \mathrm {rect} (t-\tau )\ d\tau \\& =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (\tau )\cdot \mathrm {rect} (\tau -t)\ d\tau .\end{aligned}}

Aplikace

Funkce se používá při zpracování signálu a rádiové komunikaci, představuje idealizovaný signál, který je nedílnou součástí složitějších reálných signálů. Používá se také v pulzně šířkové modulaci pro přenos a detekci digitálních signálů.
Používá se ve spektrální analýze na omezeném vzorku dat jako okénková funkce , v takovém případě se obvykle nazývá „Bartlet window“.
Podobné funkce se používají v metodě konečných prvků jako báze prvního řádu [1] .

Vlastnosti

Fourierova transformace trojúhelníkového pulsu:

${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\textrm {tri}}(t)e^{-i\ omega t}\,dt$ $={\sqrt {2\pi }}\left({\frac {{\textrm {sinc}}({\frac {\omega }{2\pi }})}{\sqrt {2\pi }}}\vpravo)^{2}$ $={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)$

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {tri} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt\ =\ \mathrm {sinc} ^{ 2}(f)

Tyto výsledky vyplývají z Fourierovy transformace pravoúhlé funkce a konvoluční vlastnosti Fourierovy transformace dvou signálů.

Viz také

Poznámky

↑ Soloveichik Yu. G. , Royak M. E. , Persova M. G. Metoda konečných prvků pro skalární a vektorové problémy. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 s. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .