Teorie pružnosti

Teorie pružnosti je úsek mechaniky kontinua , který studuje deformaci pružných těles , jejich chování při statickém a dynamickém zatížení.

Hlavním úkolem teorie pružnosti je zjistit, jaké budou deformace tělesa a jak se budou s časem pro dané vnější vlivy měnit. Hlavním systémem rovnic pro řešení tohoto problému jsou tři rovnovážné rovnice obsahující šest neznámých složek symetrického tenzoru napětí . Symetrie tenzoru napětí je v tomto případě postulována hypotézou párování smykových napětí . K uzavření systému se používají tzv. rovnice kompatibility deformace (skutečně pro těleso, které během procesu deformace zůstává pevné, existují složky tenzoru deformace , které nemohou být nezávislé - tyto složky jsou vyjádřeny pomocí tří funkcí - složky posunutí bodu tělesa: symetrické Cauchyovy vztahy ). Šest rovnic kompatibility deformací a rovnice zobecněného Hookova zákona doplňuje problém teorie pružnosti.

Teorie pružnosti je základem inženýrství a architektury. Kromě zjevných statických problémů (stabilita budov a jiných konstrukcí, pevnost vozidel) se teorie pružnosti využívá i k řešení dynamických problémů (například stabilita konstrukcí při zemětřesení a působení silných zvukových vln). odolnost proti vibracím různých zařízení a instalací). Teorie pružnosti se zde prolíná s materiálovou vědou a slouží jako jeden ze silných bodů při hledání nových materiálů. Pro seismický průzkum je důležitá i teorie pružnosti .

Přístupy k prohlášení o problému

V teorii pružnosti existují tři možnosti zadání úloh.

1. Úkoly teorie pružnosti při přemístění

Hlavní neznámé jsou tři složky vektoru posunutí (dále jen posuny). Musí splňovat tři rovnovážné rovnice zapsané posunutím ( Lameho rovnice ). V každém nesingulárním bodě povrchu tělesa musí posunutí splňovat tři okrajové podmínky. Okrajové podmínky lze formulovat třemi způsoby:

jsou uvedeny posuny;
jsou uvedeny kombinace napětí, zapsané jako normálové a tangenciální derivace posunutí;
Jsou uvedeny kombinace napětí a posuvů, zapsané v termínech normálových a tangenciálních derivací posuvů a ve smyslu posuvů samotných.

Na základě známých posunů jsou deformace určeny diferenciací (symetrické Cauchyho vztahy). Deformace zjištěné z posuvů shodně vyhovují šesti rovnicím kompatibility deformací , podle známých posuvů je lze zjistit diferenciací složek rotačního tenzoru a pseudovektoru rotací (antisymetrické Cauchyho vztahy). Ze známých deformací jsou napětí určena algebraicky (rovnice Hookova zákona ).

2. Úkoly teorie pružnosti v napětí. Hlavní neznámé je šest složek symetrického tenzoru napětí. Musí splňovat tři rovnovážné rovnice zapsané v napětích a šest rovnic kompatibility deformace napsané pomocí rovnic Hookeova zákona v napětích. Deformace jsou určeny algebraicky z nalezených napětí z inverzních rovnic Hookeova zákona . Posuny jsou integrovány v kvadraturách přes nalezené deformace pomocí Cesarových vzorců a integrovatelnost je zajištěna, protože jsou splněny rovnice kompatibility deformace . Pro zjednodušení formulace napětí může být vyjádřeno pomocí tenzorového potenciálu tak, že rovnovážné rovnice budou splněny identicky a rovnice kompatibility se rozpadnou na samostatné rovnice pro každou ze složek tenzorového potenciálu napětí. . Přidržením určitých složek symetrického tenzorového potenciálu napětí a nastavením zbytku na nulu lze získat jako speciální případy známé formulace Maxwella , Morrera , Airyho .

3. Úkoly teorie pružnosti ve smíšené formě.

Základní pojmy teorie pružnosti

Základními pojmy teorie pružnosti jsou napětí působící na malé oblasti, které lze v těle mentálně protáhnout daným bodem P, deformace v malém okolí bodu P a posunutí samotného bodu P. Přesněji řečeno napětí tenzor , tenzor malé deformace a vektor posunutí u i . $\sigma _{ij}\,\!$ $\varepsilon _{ij}\,\!$

Krátký zápis , kde indexy i, j nabývají hodnot 1, 2, 3 (nebo x, y, z ) je třeba chápat jako matici ve tvaru: $\sigma _{ij}\,\!$

{\boldsymbol {\sigma _{ij))}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21} &\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}=\left[{\begin{ matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{ zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\,\!

Krátký zápis pro tenzor je třeba chápat podobně . $\varepsilon _{ij}\,\!$

Pokud fyzický bod tělesa P vlivem deformace zaujal novou polohu v prostoru P', pak se vektor posunutí označí složkami ( u x ,u y ,u z ), zkráceně u i . V teorii malých deformací jsou složky u i a považovány za malé veličiny (přesně vzato nekonečně malé). Složky tenzoru , který se také nazývá Cauchyho tenzor deformace nebo lineární tenzor deformace, a vektor u i spolu souvisí pomocí závislostí: $\mathbf {PP'}$ $\varepsilon _{ij}\,\!$ $\varepsilon _{ij}\,\!$

\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)=\left[{\begin{matrix}\ varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}& \varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x} }&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\částečné u_{x}}{\částečné y}}+{\frac {\částečné u_{y}}{\částečné x}} \right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\částečné u_{x}}{\částečné z}}+{\frac {\částečné u_{z}}{\částečné x }}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\částečné u_{y}}{\částečné x}}+{\frac {\částečné u_{x}}{ \partial y}}\right)&{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y} }{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_ {z}}{\částečné x}}+{\frac {\částečné u_{x}}{\částečné z}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\ částečné u_{z)){\částečné y))+{\frac {\částečné u_{y)){\částečné z))\vpravo)&{\frac {\parti  al u_{z}}{\částečné z}}\\\end{matice}}\right]\,\!

Z poslední položky je vidět, že , takže tenzor deformace je podle definice symetrický. $\varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}\,\!$

Pokud je pružné těleso působením vnějších sil v rovnováze (to znamená, že rychlosti všech jeho bodů jsou rovné nule), pak je v rovnováze i jakákoliv jeho část, kterou lze od něj mentálně oddělit. Z těla je vytažen nekonečně malý obdélníkový hranol, jehož plochy jsou rovnoběžné s rovinami souřadnic kartézského systému. Z podmínky rovnováhy pro rovnoběžnostěn s velikostmi žeber dx, dy, dz, po zvážení podmínek pro rovnováhu sil v průmětech, můžeme získat:

{\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{xy}}{\partial y}}+ {\frac {\částečná \sigma _{xz}}{\částečná z}}+F_{x}=0\\&{\frac {\částečná \sigma _{yx}}{\částečná x}}+{ \frac {\částečný \sigma _{yy}}{\částečný y}}+{\frac {\částečný \sigma _{yz}}{\částečný z}}+F_{y}=0\\&{\ frac {\partial \sigma _{zx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{zy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zz} }{\částečné z}}+F_{z}=0\\\end{aligned}}

Podobně se získají rovnice rovnováhy vyjadřující rovnost nule hlavního momentu všech sil působících na rovnoběžnostěn, které jsou redukovány do tvaru:

\sigma _{xy}=\sigma _{yx},\sigma _{yz}=\sigma _{zy},\sigma _{zx}=\sigma _{xz}\,\!

Tato rovnost znamená, že tenzor napětí je symetrický tenzor a počet neznámých složek tenzoru napětí je snížen na 6. Rovnovážné rovnice jsou pouze tři, to znamená, že statické rovnice k řešení problému nestačí. Východiskem je vyjádřit napětí v podmínkách přetvoření pomocí rovnic Hookeova zákona a poté vyjádřit přetvoření v podmínkách přemístění u i pomocí Cauchyho vzorců a dosadit výsledek do rovnice rovnováhy. V tomto případě jsou získány tři diferenciální rovnice rovnováhy vzhledem ke třem neznámým funkcím u x u y u z , to znamená, že počet neznámých bude odpovídat počtu rovnic. Tyto rovnice se nazývají Navier-Cauchyho rovnice. $\sigma _{ij}\,\!$ $\varepsilon _{ij}\,\!$ $\varepsilon _{ij}\,\!$

\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial x))\left({\frac {\partial u_{x)){\partial x)))+{\ frac {\částečné u_{y}}{\částečné y}}+{\frac {\částečné u_{z}}{\částečné z}}\vpravo)+\mu \left({\frac {\částečné ^{ 2}u_{x}}{\částečné x^{2}}}+{\frac {\částečné ^{2}u_{x}}{\částečné y^{2}}}+{\frac {\částečné ^{2}u_{x}}{\částečné z^{2}}}\right)+F_{x}=0\,\!

\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial y))\left({\frac {\partial u_{x)){\partial x))+{\ frac {\částečné u_{y}}{\částečné y}}+{\frac {\částečné u_{z}}{\částečné z}}\vpravo)+\mu \left({\frac {\částečné ^{ 2}u_{y}}{\částečné x^{2}}}+{\frac {\částečné ^{2}u_{y}}{\částečné y^{2}}}+{\frac {\částečné ^{2}u_{y}}{\částečné z^{2}}}\right)+F_{y}=0\,\!

\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial z))\left({\frac {\partial u_{x)){\partial x))+{\ frac {\částečné u_{y}}{\částečné y}}+{\frac {\částečné u_{z}}{\částečné z}}\vpravo)+\mu \left({\frac {\částečné ^{ 2}u_{z}}{\částečné x^{2}}}+{\frac {\částečné ^{2}u_{z}}{\částečné y^{2}}}+{\frac {\částečné ^{2}u_{z}}{\částečné z^{2}}}\right)+F_{z}=0\,\!

kde jsou parametry Lame :

\lambda ={\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )))

\mu ={\frac {E}{2(1+\nu )))

Anizotropní homogenní média

Pro anizotropní média je tenzor tuhosti složitější. Symetrie tenzoru napětí znamená, že existuje maximálně 6 různých prvků napětí. Podobně existuje nejvýše 6 různých prvků tenzoru deformace . Proto lze tenzor tuhosti čtvrtého řádu zapsat jako matici (tensor druhého řádu). Voigtův zápis je standardní způsob zobrazení pro tenzorové indexy, $C_{ijkl}\,\!$ $\sigma _{ij}\,\!$ $\varepsilon _{ij}\,\!$ $C_{ijkl}\,\!$ $C_{\alpha \beta }\,\!$

{\begin{matrix}ij&=\\\Downarrow &\\\alpha &=\end{matrix)){\begin{matrix}11&22&33&23,32&13,31&12,21\\\Downarrow &\Downarrow &\ Dolů &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\\1&2&3&4&5&6\end{matrix}}\,\!

Pomocí těchto zápisů lze napsat matici elasticity pro jakékoli lineárně elastické médium jako:

C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_ {12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\ \C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56 }\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}.\,\!

Jak je znázorněno, matice je symetrická. To je výsledek existence funkce hustoty deformační energie, která vyhovuje . Existuje tedy maximálně 21 různých konstant . $C_{\alpha \beta }\,\!$ ${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\částečné W}{\částečné \varepsilon _{ij))))$ $C_{\alpha \beta }\,\!$

Izotropní speciální případ má 2 nezávislé prvky:

C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K+ 4 \mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&0&0&0\\0&0&0&\mu \ &0&0\\0&0&0&0&\mu \ &0 \\0&0&0&0&0&\mu \ \end{bmatrix}}.\,\!

Nejjednodušší anizotropní případ kubické symetrie má 3 nezávislé prvky:

C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12 }&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}.\,\!

Případ příčné izotropie, nazývaný také polární anizotropie (s jednou osou symetrie), má 5 nezávislých prvků:

C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11} &C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end !

Když je příčná izotropie slabá (tj. blízká izotropii), alternativní parametrizace pomocí Thomsenových parametrů se ukazuje jako vhodná pro psaní vzorců pro rychlosti vln.

Případ ortotropie (symetrie cihel) má 9 nezávislých prvků:

C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13 }&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.\,\!

Viz také

Literatura

Bolotin VV Dynamická stabilita elastických systémů. - M. : Gostekhizdat, 1956. - 600 s.
Iljušin A. A. Mechanika kontinua. - M. : Moskevské nakladatelství. un-ta, 1978. - 287 s.
Likhachev V. A., Malinin V. G. Strukturně-analytická teorie pevnosti. - Petrohrad. : Nauka, 1993. - 471 s.
Lur'e A. I. Teorie pružnosti. — M .: Nauka, 1970. — 940 s.
Panovko Ya. G. , Gubanova I. I. Stabilita a vibrace elastických systémů: Moderní pojmy, chyby a paradoxy. - M. : Nauka, 1979. - 384 s.
Rabotnov Yu. N. Mechanika deformovatelného pevného tělesa. - M. : Nauka, 1979. - 744 s.
Sedov L.I. Mechanika kontinua. Svazek 1. . - M. : Nauka, 1970. - 492 s.
Sedov L.I. Mechanika kontinua. Svazek 2. . — M .: Nauka, 1970. — 568 s.
Truesdell K. Počáteční kurz racionální mechaniky kontinua. . — M .: Nauka, 1975. — 592 s.

Odkazy

Kurz pružnosti

Úseky mechaniky
klasická mechanika Speciální teorie relativity Teoretická mechanika Obecná teorie relativity Relativistická mechanika Kvantová mechanika
Mechanika kontinua	Hydrostatika Hydrodynamika Aeromechanika Aerostatika dynamika plynu Teorie pružnosti Teorie plasticity Lomová mechanika pevných látek Reologie
teorie	Oscilační teorie Teorie udržitelnosti
aplikovaná mechanika	Síla materiálu Teorie mechanismů a strojů Části strojů Stavební mechanika Hydraulika Mechatronika Nebeská mechanika Optomechatronika