Základní posloupnost

Základní posloupnost nebo samokonvergující posloupnost nebo Cauchyho posloupnost  je posloupnost bodů v metrickém prostoru tak, že pro jakoukoli nenulovou danou vzdálenost existuje prvek posloupnosti, od kterého jsou všechny prvky posloupnosti menší než daná vzdálenost od sebe.

Definice

Posloupnost bodů v metrickém prostoru se nazývá základní , pokud splňuje Cauchyho kritérium :

Související definice

• Metrický prostor, ve kterém každá základní posloupnost konverguje k prvku stejného prostoru, se nazývá úplný .

Vlastnosti

• Každá konvergentní posloupnost je základní, ale ne každá základní posloupnost konverguje k prvku ze svého prostoru.
• Metrický prostor je úplný tehdy a jen tehdy, když jakýkoli systém vnořených uzavřených koulí s nekonečně se zmenšujícím poloměrem má neprázdný průsečík skládající se z jednoho bodu.
• Pokud je posloupnost základní a obsahuje konvergentní podposloupnost, pak posloupnost sama konverguje.
• Pokud je posloupnost fundamentální, pak je omezená.

Literatura

• Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Základy teorie funkcí a funkcionální analýza, - M. : Nauka, 2004. - 7. vyd.
• Shilov G. E. Matematická analýza. Funkce jedné proměnné. Část 3, - M .: Nauka, 1970.