Finslerova geometrie

Finslerova geometrie je jedním ze zobecnění Riemannovy geometrie . Finslerova geometrie se zabývá manifoldy s Finslerovou metrikou; to znamená výběrem normy pro každý tečný prostor , který se plynule mění bod od bodu.

Základní pojmy

Dovolit být - dimenzionální připojen hladký manifold a být tečný svazek . $M$ $n$ $TM$ $M$

Finslerova metrika na je spojitá funkce , takže její omezení na libovolný tečný prostor je normou. V tomto případě se obvykle předpokládají následující další vlastnosti: $M$ $F\colon TM\rightarrow [0,\infty ),$ $T_{p}M$

(Smoothness) is -smooth function not ; $F$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $(TM\setminus \{0\})$
(Silná konvexita) Pro jakýkoli pár bilineární forma $(x,y)\in TM$

\mathbf {g} _{y}\colon T_{x}M\times T_{x}M\rightarrow \mathbb {R} ,

\mathbf {g} _{y}(u,v)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial s}} \lbrack F^{2}(x,y+su+tv)\rbrack {\Bigl |}_{s=t=0}

pozitivně definované.

Poznámky

Pokud položíme

g_{ij}(x,y)={\frac {1}{2}}{\frac {\částečné ^{2}}{\částečné y^{i}\částečné y^{j}} }[F^{2}(x,y)]

pak lze formulář přepsat jako $\mathbf {g} _{y}(u,v)$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{y}(u,v)=g_{ij}(x,y)u^{i}v^{j))$

Pro jakékoli nenulové vektorové pole definované na , existuje Riemannova metrika na . $Y$ $U\subset M$ $\mathbf {g} _{Y}(u,v)$ $U$

Pro hladkou křivku na rozdělovači s Finslerovou metrikou je délka dána integrálem . $c:[a,b]\rightarrow M$ $M$ $F$ $L_{F}(c)=\int _{a}^{b}F(c(t),{\tečka {c))(t))dt$

Chernův (nebo Rundův) operátor kovarianční diferenciace je definován jako where , a $\nabla :T_{x}M\times \Gamma ^{\infty }(TM)\rightarrow T_{x}M$ $\nabla _{y}U:=\{dU^{i}(y)+U^{j}N_{j}^{i}(x,y)\}{\frac {\partial } {\částečné x^{i))}|_{x},$ $y\in T_{x}M$ $U\in \Gamma ^{\infty }(TM)$ $N_{j}^{i}(x,y)={\frac {\částečné }{\částečné y^{j))}\left[{\frac {1}{4))g^{ il}(x,y)\left\{2{\frac {\částečné g_{ml}}{\částečné x^{k}}}(x,y)-{\frac {\částečné g_{mk}} {\částečné x^{l))}(x,y)\vpravo\}y^{m}y^{k}\vpravo].$

Takto zavedené spojení na rozdělovači není obecně afinním spojením. Spojení je afinní právě tehdy, když je Finslerova metrika Berwaldovou metrikou[ specifikovat ] . Podle definice to znamená, že geodetické rovnice mají stejný tvar jako v Riemannově geometrii nebo geodetické koeficienty

$G^{i}(x,y)={\frac {1}{4}}g^{il}(x,y)\left\{2{\frac {\partial g_{jl)) {\částečné x^{k))}(x,y)-{\frac {\částečné g_{jk)){\částečné x^{l))}(x,y)\vpravo\}y^{j }y^{k}$ reprezentovat ve formě $G^{i}(x,y)=\Gamma _{jk}^{i}(x)y^{j}y^{k}.$

U vektoru zvažte funkce . Pak se rodina transformací nazývá Riemannova křivost. Nechť je tečnou 2-rozměrnou rovinou. Pro vektor definujeme, kde je takový vektor, který . nezáleží na výběru . Číslo se nazývá zakřivení vlajky v . $y\in T_{x}M\zpětné lomítko \{0\}$ ${\displaystyle R_{k}^{i}(y)=2{\frac {\partial G^{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial ^{2}G ^{i}}{\částečné x^{j}\částečné y^{k}}}y^{j}+2G^{j}{\frac {\částečné ^{2}G^{i}}{ \částečné y^{j}\částečné y^{k))}-{\frac {\částečné G^{i)){\částečné y^{j))}{\frac {\částečné G^{j} }{\částečné y^{k))))$ $\mathbf {R} =\left\{\mathbf {R} _{y}=R_{k}^{i}(y){\frac {\partial }{\partial x^{i)) }\otimes dx^{k}|_{x}:T_{x}M\šipka doprava T_{x}M,y\v T_{x}M\zpětné lomítko \{0\},x\in M\vpravo\ }$ $P\subset T_{x}M$ $y\in P\zpětné lomítko \{0\}$ $K(P,y)={\frac {\mathbf {g} _{y}(\mathbf {R} _{y}(u),u)}{\mathbf {g} _{y} (y,y)\mathbf {g} _{y}(u,u)-\mathbf {g} _{y}(y,u)^{2}}},$ $u\v P$ ${\displaystyle P=\mathrm {span} \{y,u\))$ $K(P,y)$ $u\v P$ $K(P,y)$ $(P,y)$ $T_{x}M$

Historie

Myšlenku Finslerova prostoru můžeme vidět již v Riemannově přednášce „On the Hypotheses Underlying Geometry“ (1854). Spolu s metrikou danou kladnou druhou odmocninou kladné určité kvadratické diferenciální formy ( Riemannovská metrika ), Riemann také zvažuje metriku danou kladnou čtvrtou odmocninou diferenciální formy čtvrtého řádu. Finslerova metrika je následující přirozené zobecnění.

Systematické studium variet s takovou metrikou začalo disertační prací Paula Finslera , publikovanou v roce 1918 , takže jméno takových metrických prostorů je spojeno s jeho jménem. Faktorem, který položil základy výzkumných aktivit v tomto směru, je Carathéodoryho zavedení nových geometrických metod do variačního počtu pro studium problémů v parametrické formě. Jádrem těchto metod je koncept indikatrix a vlastnost konvexity indikatrix hraje u těchto metod důležitou roli, protože zajišťuje splnění nezbytných minimálních podmínek ve variační úloze pro stacionární křivky.

O několik let později došlo v obecném vývoji Finslerovy geometrie k obratu od původního Finslerova pohledu k novým teoretickým metodám. Finsler, vedený hlavně koncepty variačního počtu, nepoužil metody tenzorové analýzy . V roce 1925 byla tenzorová analýza aplikována na teorii téměř současně Singem , Taylorem ( anglicky JH Taylor ) a Berwaldem ( německy L. Berwald ). V roce 1927 Berwald navrhl zobecnění, které nesplňuje kladnou jednoznačnost metriky, později známé jako Berwald-Moorův prostor .

Další obrat ve vývoji teorie nastal v roce 1934, kdy Cartan publikoval pojednání o Finslerových prostorech. Cartanovský přístup ovládl prakticky všechny následující výzkumy geometrie Finslerových prostorů a několik matematiků vyjádřilo názor, že díky tomu teorie dosáhla své konečné podoby. Cartanova metoda vedla k rozvoji Finslerovy geometrie přímým rozvojem metod Riemannovy geometrie.

Několik geometrů nezávisle kritizovalo Cartanovy metody Wagner , Busemann a Rund Zdůraznili, že přirozenou lokální metrikou Finslerova prostoru je Minkowského metrika , zatímco svévolné uložení euklidovské metriky vede ke ztrátě nejzajímavějších charakteristik Finslerových prostorů. Z těchto důvodů byly na počátku 50. let předloženy další teorie, v jejichž důsledku se objevily znatelné potíže, Busemann na toto téma poznamenal: „Finslerova geometrie ze strany je les, ve kterém se veškerá vegetace skládá z tenzorů “ .

Literatura

V Rusku

G. S. Asanov. Finslerův prostor s algebraickou metrikou určenou polem snímků - Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Probl. geom., 8, VINITI, M. , 1977, 67-87.
V. I. Bliznikas. Finslerovy prostory a jejich zobecnění - Itogi Nauki. Ser. Rohož. Algebra. Topol. Geom. 1967, VINITI, M. , 1969, 73-125.
V. G. Žotikov. Úvod do Finslerovy geometrie a její zobecnění (pro fyziky) - M .: MIPT , 2014. ISBN 978-5-7417-0462-2 .
P. K. Raševskij. Polymetric geometry, - Sborník semináře o vektorové a tenzorové analýze s jejich aplikacemi v geometrii, mechanice a fyzice. Číslo 5. OGIZ, 1941.
P. K. Raševskij. Geometrická teorie parciálních diferenciálních rovnic, - Libovolné vydání.
H. Rund. Diferenciální geometrie Finslerových prostorů, - M .: "Nauka", 1981.

V angličtině

PL Antonelli. Handbook of Finsler geometry, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2003.
D. Bao, SS Chern a Z. Shen. An Introduction to Riemann-Finsler Geometry, Springer-Verlag, 2000. ISBN 0-387-98948-X .
SS Chern. Finslerova geometrie je pouze Riemannova geometrie bez kvadratického omezení - Notices AMS, 43, září 1996.
Z Shen. Přednášky o Finslerově geometrii, - World Scientific Publishers, 2001. ISBN 981-02-4531-9 .
Z Shen. Diferenciální geometrie sprejových a Finslerových prostorů, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2001.

Odkazy

Domácí stránka Finsler geometrie — Zhongmin Shen je místo o Finsler geometrii. (Angličtina)
Nezisková nadace pro rozvoj výzkumu Finslerovy geometrie.
Chris Moseley (Calvin College), "Finsler a sub-Finsler geometries" (2013 papírová prezentace )
V. G. Žotikov . „Co je Finslerova geometrie a proč jí fyzici potřebují rozumět“ (prezentace zprávy)