Croftonův vzorec

Croftonův vzorec je klasickým výsledkem integrální geometrie. Přidruží délku křivky k průměrnému počtu průsečíků čar.

Formulace

Dovolit být rektifikovatelná rovinná křivka . Pro přímku označte počtem bodů, kde se a protínají. Orientované čáry můžeme parametrizovat úhlem ke zvolenému směru a znaménkovou vzdáleností od počátku . Pak je délka křivky $\gamma$ $l$ $n_{\gamma }(l)$ $\gamma$ $l$ $l$ $\varphi$ $p$ $\gamma$

L={\frac {1}{4}}\int \limits _{0}^{2\cdot \pi }d\varphi \cdot \int \limits _{-\infty }^{\infty }n_{\gamma }(\varphi ,p)\cdot dp.

Poznámky

Diferenciální forma $d\varphi \wedge dp$

je invariantní při rovinných pohybech. Poskytuje tedy přirozené opatření pro integraci.

Croftonův vzorec je ekvivalentní následujícímu tvrzení: Délka křivky je přímo úměrná průměrné délce jejích ortogonálních průmětů. V tomto případě se délka projekce vypočítá s přihlédnutím k multiplicitě.

Aplikace

Croftonův vzorec dokazuje následující výsledky:

Pokud uzavřená rovinná křivka prochází kolem konvexní křivky, pak má tato konvexní křivka kratší délku.
Barbierova věta : Křivka konstantní šířky má obvod . $A$ $\pi \cdot a$
Izoperimetrické nerovnosti : Mezi uzavřenými křivkami s daným obvodem má kružnice maximální plochu.
Pokud má kulová křivka délku menší než , pak leží v otevřené polokouli. Toto tvrzení je klíčem k důkazu Fenchelovy věty o otáčení křivky . $2{\cdot}\pi$

Variace a zobecnění

Buffonův problém házení jehlou

Croftonův vzorec zobecňuje na jakýkoli Riemannův povrch; integrace využívá přirozené míry na prostoru geodetik pevné délky.
- Například délka křivky na jednotkové kouli je , kde označuje průměrný počet průsečíků křivky s velkými kružnicemi. $\pi \cdot n$ $n$

Radonovou transformaci lze považovat za zobecnění Croftonova vzorce v teorii míry.
Formule Santalo

Literatura

Tabachnikov, Serge Geometrie a kulečník . - AMS, 2005. - S. 36 -40. - ISBN 0-8218-3919-5 .
Santalo , L.A. Úvod do integrální geometrie . - 1953. - S. 12-13, 54.
Přednáška 19 v Tabachnikov S.L. Fuks D.B. Matematická diverzifikace . - MTSNMO, 2011. - 512 s. - 2000 výtisků. - ISBN 978-5-94057-731-7 .