Eulerův vzorec (diferenciální geometrie)

Eulerův vzorec je vzorec, který umožňuje vypočítat normální zakřivení povrchu.

Pojmenován po Leonhardu Eulerovi , který to dokázal v roce 1760.

Formulace

Nechť je v trojrozměrném euklidovském prostoru pravidelný povrch . Nechť - bod - tečnou rovinu k bodu - jednotku kolmou k bodu a - procházející rovinu a nějaký jednotkový vektor v . Křivka získaná jako průsečík roviny s povrchem se nazývá normální řez povrchu v bodě ve směru $\Phi$ $p$ $\phi ,$ $T_{p}$ $\Phi$ $p,$ $n$ $\Phi$ $p,$ $\pi _{e}$ $n$ $E$ $T_{p}$ $\gamma_e,$ $\pi _{e}$ $\phi ,$ $\Phi$ $p$ $E.$

\kappa _{e}=k\cdot n

kde označuje skalární součin a je vektor zakřivení v bodě , se nazývá normální zakřivení povrchu ve směru . Až do znaménka se normální zakřivení rovná zakřivení křivky . $\cdot$ $k$ $\gamma _{e}$ $p$ $\Phi$ $E$ $\gamma _{e}$

V tečné rovině jsou dva kolmé směry , takže normální zakřivení v libovolném směru může být reprezentováno pomocí takzvaného Eulerova vzorce : $T_{p}$ $e_{1}$ $e_{2}$

\kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha

kde je úhel mezi tímto směrem a a jsou hodnoty a normální zakřivení ve směrech a nazývají se hlavní zakřivení a směry a jsou hlavní směry povrchu v bodě . Hlavní zakřivení jsou extrémní hodnoty normálních zakřivení. Struktura normálních zakřivení v daném bodě na povrchu je pohodlně znázorněna graficky pomocí Dupinovy indikatrix . $\alpha$ $e_{1}$ $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $p$

Viz také

Odkazy

Euler, Leonhard (1760), Recherches sur la courbure des surfaces , Memoires de l'academie des sciences de Berlin T. 16: 119–143, 1767 , < http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E333 .html > .