Jacobiho eliptické funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 2. ledna 2020; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Jacobiho eliptické funkce jsou souborem základních eliptických funkcí komplexní proměnné a pomocných funkcí theta , které přímo souvisejí s některými aplikovanými problémy (např. rovnice kyvadla ). Mají také užitečné analogie s goniometrickými funkcemi , jak ukazuje odpovídající zápis pro . Neposkytují nejjednodušší způsob, jak vyvinout obecnou teorii, jak bylo nedávno uvedeno: lze to provést na základě Weierstrassových eliptických funkcí . Jacobiho eliptické funkce mají v hlavním rovnoběžníku dva jednoduché póly a dvě jednoduché nuly. $\operatorname{\mathrm{sn))$ $\hřích$

Úvod

Existuje eliptická funkce, která má jeden pól druhého řádu a dvě jednoduché nuly v hlavním rovnoběžníku; toto je "eliptická Weierstrassova funkce". Užitečnější jsou však „Jakobiho eliptické funkce“, které mají v každém hlavním rovnoběžníku dva jednoduché póly a dvě jednoduché nuly. Každá z těchto funkcí v hlavním rovnoběžníku nabývá libovolnou hodnotu právě dvakrát.

Označení

U eliptických funkcí se lze setkat s různými zápisy, které mohou zmást podstatu věci. Eliptické funkce jsou funkce dvou proměnných. První proměnná může být uvedena v podmínkách amplitudy nebo obvykle v podmínkách uvedených níže. Druhá proměnná by mohla být dána z hlediska parametru , buď jako eliptický modul , kde , nebo z hlediska modulárního úhlu , kde . $\varphi$ $u$ $m$ $k$ $k^{2}=m$ ${\mbox{æ}}$ $m=\sin ^{2}{\mbox{æ))$

Definice jako inverze k eliptickým integrálům

Výše uvedená definice z hlediska meromorfních funkcí je abstraktní. Existuje jednodušší, ale absolutně ekvivalentní definice, která definuje eliptické funkce jako inverze neúplného eliptického integrálu prvního druhu. Nechat

u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}.

Eliptická funkce je dána jako $\operatorname {sn} u$

\operatorname {sn} u=\sin \varphi

a odhodlaný $\operatorname {cn} u$

\operatorname {cn} u=\cos \varphi ,

\operatorname {dn} u={\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi )).

Zde se úhel nazývá amplituda . nazývaná delta amplituda . Hodnota je volný parametr, o kterém se předpokládá, že je skutečný v rozsahu , a eliptické funkce jsou tedy funkcemi dvou argumentů: amplitudy a parametru . $\varphi$ $\operatorname {dn} u=\Delta (u)$ $m$ $0\leqslant m\leqslant 1$ $\varphi$ $m$

Zbývajících devět eliptických funkcí lze snadno sestavit ze tří výše uvedených. To bude provedeno níže.

Všimněte si, že když , potom se rovná čtvrtině období . $\varphi =\pi /2$ $u$ $K$

Definice z hlediska funkcí theta

Ekvivalentně, Jacobiho eliptické funkce mohou být definovány v podmínkách θ-funkce . Pokud definujeme jako , respektive jako ( konstanty theta ) , pak je eliptický modul . Za předpokladu , dostaneme $\vartheta (0;\;\tau )$ $\vartheta$ $\vartheta _{01}(0;\;\tau),\vartheta _{10}(0;\;\tau),\;\vartheta _{11}(0;\;\tau)$ $\vartheta _{01},\;\vartheta _{10},\;\vartheta _{11}$ $k$ $k=\left({\frac {\vartheta _{10}}{\vartheta }}\right)^{2}$ $u=\pi \vartheta ^{2}z$

\operatorname {sn} (u;\;k)=-{\frac {\vartheta \vartheta _{11}(z;\;\tau )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01 }(z;\;\tau )}},

\operatorname {cn} (u;\;k)={\frac {\vartheta _{01}\vartheta _{10}(z;\;\tau )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\;\tau )}},

\operatorname {dn} (u;\;k)={\frac {\vartheta _{01}\vartheta (z;\;\tau )}{\vartheta \vartheta _{01}(z;\ ;\tau )}}.

Protože Jacobiho funkce jsou definovány pomocí eliptického modulu , je nutné najít jejich inverze a vyjádřit je pomocí . Začněme s přídavným modulem . Jak napsat funkci $k(\tau)$ $\tau$ $k$ $k'={\sqrt {1-k^{2}}}$ $\tau$

k'(\tau )=\left({\frac {\vartheta _{01}}{\vartheta }}\right)^{2}.

Pojďme si představit notaci

\ell ={\frac {1}{2}}{\frac {1-{\sqrt {k'}}}{1+{\sqrt {k'}}}}={\frac {1 }{2}}{\frac {\vartheta -\vartheta _{01}}{\vartheta +\vartheta _{01}}}.

Také definujeme nome as a rozšiřujeme jej v řadě v mocninách nomu . Dostat $q$ $q=\exp(\pi i\tau )$ $\ell$ $q$

\ell ={\frac {q+q^{9}+q^{25}+\ldots }{1+2q^{4}+2q^{16}+\ldots )).

Invertování řady dává

q=\ell +2\ell ^{5}+15\ell ^{9}+150\ell ^{13}+1707\ell ^{17}+20910\ell ^{21}+268616\ dobře ^{25}+\ldots

Protože můžeme uvažovat speciální případ, kdy je imaginární část větší nebo rovna , můžeme říci, že hodnota je menší nebo rovna . Pro takto malé hodnoty výše uvedená řada velmi rychle konverguje, a proto je snadné najít vhodnou hodnotu pro . $\tau$ ${\sqrt {3}}/2$ $q$ $\exp(-\pi {\sqrt {3}}/2)$ $q$

Další vlastnosti

Změnou pořadí dvou písmen v názvu funkcí obvykle označují inverzní hodnotu tří výše uvedených funkcí:

\operatorname {ns} (u)=1/\operatorname {sn} (u),

\operatorname {nc} (u)=1/\operatorname {cn} (u),

\operatorname {nd} (u)=1/\operatorname {dn} (u).

Poměry tří hlavních funkcí se označují prvním písmenem čitatele za prvním písmenem jmenovatele:

\operatorname {sc} (u)=\operatorname {sn} (u)/\operatorname {cn(u)} ,

\operatorname {sd} (u)=\operatorname {sn} (u)/\operatorname {dn(u)} ,

\operatorname {dc} (u)=\operatorname {dn} (u)/\operatorname {cn(u)} ,

\operatorname {ds} (u)=\operatorname {dn} (u)/\operatorname {sn(u)} ,

\operatorname {cs} (u)=\operatorname {cn} (u)/\operatorname {sn(u)} ,

\operatorname {cd} (u)=\operatorname {cn} (u)/\operatorname {dn(u)} .

Pojďme si to napsat stručněji

\operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pr} (u)}{\operatorname {qr(u)} )),

kde všechna písmena , , a jsou libovolná písmena , , , (pamatujte, že ). $\operatorname {p}$ $\operatorname {q}$ $\operatorname {r}$ $\operatorname {s}$ $\operatorname {c}$ $\operatorname {d}$ $\operatorname {n}$ $\operatorname {ss} =\operatorname {cc} =\operatorname {dd} =\operatorname {nn} =1$

Další věty

Funkce splňují dva algebraické vztahy

\operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1,

\operatorname {dn} ^{2}+k^{2}\operatorname {sn} ^{2}=1.

Je vidět, že ( , , ) parametrizuje eliptickou křivku , která je průsečíkem dvou kvadrik definovaných výše uvedenými dvěma rovnicemi. Nyní můžeme definovat grupový zákon pro body na této křivce pomocí dalších vzorců pro Jacobiho funkce $\operatorname {cn}$ $\operatorname {sn}$ $\operatorname {dn}$

\operatorname {cn} (x+y)={\frac {\operatorname {cn} (x)\,\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\,\operatorname { sn} (y)\,\jméno operátora {dn} (x)\,\jméno operátora {dn} (y)}{1-k^{2}\,\jméno operátora {sn} ^{2}(x)\, \operatorname {sn} ^{2}(y)}},

\operatorname {sn} (x+y)={\frac {\operatorname {sn} (x)\,\operatorname {cn} (y)\,\operatorname {dn} (y)+\operatorname { sn} (y)\,\jméno operátora {cn} (x)\,\jméno operátora {dn} (x)}{1-k^{2}\,\jméno operátora {sn} ^{2}(x)\, \operatorname {sn} ^{2}(y)}},

\operatorname {dn} (x+y)={\frac {\operatorname {dn} (x)\,\operatorname {dn} (y)-k^{2}\,\operatorname {sn} ( x)\,\jméno operátora {sn} (y)\,\jméno operátora {cn} (x)\,\jméno operátora {cn} (y)}{1-k^{2}\,\jméno operátora {sn} ^{ 2}(x)\,\jméno operátora {sn} ^{2}(y)}}.

Trigonometrické a hyperbolické funkce jako speciální případ eliptiky

Pokud , pak $m=1$

u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\theta ))))=\operatorname {ln } \left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\operatorname {tg} \varphi \right).

Odtud

\sin \varphi =\operatorname {sn} \,u={\frac {e^{2u}-1}{e^{2u}+1}}=\operatorname {th} \,u.

Odtud

\operatorname {cn}\,u={\sqrt {1-\operatorname {sn}^{2}\,u}}={\frac {1}{\operatorname {ch}\,u}}

\operatorname {dn} \,u={\sqrt {1-\operatorname {sn} ^{2}\,u}}={\frac {1}{\operatorname {ch} \,u}} .

Tak, at , eliptické funkce degenerují do hyperbolických funkcí . $m=1$

Pokud , pak $m=0$

u=\int \limits _{0}^{\varphi }d\theta =\varphi .

Odtud

\sin \varphi =\sin \,u=\operatorname {sn} \,u,

stejně jako

\operatorname {cn} \,u=\cos \,u,

\operatorname {dn} \,u=1.

Tak, at , eliptické funkce degenerují do goniometrických funkcí . $m=0$

Vztah mezi druhou mocninou funkcí

Pro druhé mocniny těchto funkcí platí následující vztahy

-\operatorname {dn} ^{2}(u)+m_{1}=-m\;\operatorname {cn} ^{2}(u)=m\;\operatorname {sn} ^{2 }(u)-m,

-m_{1}\;\jméno operátora {nd} ^{2}(u)+m_{1}=-mm_{1}\;\jméno operátora {sd} ^{2}(u)=m\ ;\název operátora {cd} ^{2}(u)-m,

m_{1}\;\operatorname {sc} ^{2}(u)+m_{1}=m_{1}\;\operatorname {nc} ^{2}(u)=\operatorname {dc } ^{2}(u)-m,

\operatorname {cs} ^{2}(u)+m_{1}=\operatorname {ds} ^{2}(u)=\operatorname {ns} ^{2}(u)-m,

kde a . $m+m_{1}=1$ $m=k^{2}$

Další rovnosti pro čtverce lze získat poznámkou, že a , kde , , jsou jakákoli písmena , , , a . $\operatorname {pq}^{2}\cdot \operatorname {qp}^{2}=1$ $\operatorname {pq}=\operatorname {pr}/\operatorname {qr}$ $\operatorname {p}$ $\operatorname {q}$ $\operatorname {r}$ $\operatorname {s}$ $\operatorname {c}$ $\operatorname {d}$ $\operatorname {n}$ $\operatorname {ss} =\operatorname {cc} =\operatorname {dd} =\operatorname {nn} =1$

Jméno

Nechť se nom rovná a argument nechť je . Potom lze funkce reprezentovat jako Lambertovy součty $q=\exp(-\pi K'/K)$ $v=\pi u/(2 kB)$

\operatorname {sn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m))))\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^ {n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin(2n+1)v,

\operatorname {cn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m))))\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^ {n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos(2n+1)v,

\operatorname {dn} (u)={\frac {\pi }{2K}}+{\frac {2\pi }{K}}\sum _{n=1}^{\infty }{ \frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos 2nv.

Řešení nelineárních obyčejných diferenciálních rovnic

Derivace tří základních Jacobiho eliptických funkcí jsou psány jako:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {sn} \,(z;\;k)=\mathrm {cn} \,(z;\ ;k)\,\mathrm {dn} \,(z;\;k),

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {cn} \,(z;\;k)=-\mathrm {sn} \,(z; \;k)\,\mathrm {dn} \,(z;\;k),

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {dn} \,(z;\;k)=-k^{2}\mathrm {sn} \,(z;\;k)\,\mathrm {cn} \,(z;\;k).

Pomocí věty, jejíž formulace je uvedena výše , pro danou ( ) rovnici, jejímž řešením jsou Jacobiho eliptické funkce: $k$ $0<k<1$

$\mathrm {sn} \,(x;\;k)$ je řešením rovnice a ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+k^{2})y-2k^{2}y^ {3}=0$ $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2 }y^{2});$

$\mathrm {cn} \,(x;\;k)$ je řešením rovnice a ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2k^{2})y+2k^{2}y^ {3}=0$ $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2 }+k^{2}y^{2});$

$\mathrm {dn} \,(x;\;k)$ je řešením rovnice a ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2))}-(2-k^{2})y+2y^{3}=0$ $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-k^{2 }-y^{2}).$

Odkazy

Weisstein, Eric W. Jacobi Elliptic Functions (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Elliptic Functions (downlink) - Procedury pro Matlab

Literatura

Bobylev D.K. Eliptické integrály a funkce // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami . — New York: Dover, 1972. Viz kapitola 16

Akhiezer N. I. Prvky teorie eliptických funkcí (neopr.) . — M .: Nauka, 1970.

Watson J. N., Whittaker E. T. Kurz moderní analýzy. Část 2. Transcendentní funkce . - M .: Mir, 1963. (Ruština) nebo Moskva: URSS, 2010

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee Hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius