H-kobordismus

h -cobordismus je bordismus , kdeje kompaktní diferencovatelná varieta , jejíž hranicíje spojení disjunktních uzavřených varieta, které se deformací zatahují . Nejjednodušším příkladem je triviální -kobordismus $(W;M,M')$ $W$ $\částečné W$ $M$ $M'$ $W$ $h$

(M\krát [0,1]; M\krát 0, M\krát 1).

Variety se nazývají -cobordant, pokud existuje -cobordismus , který je spojuje. $M$ $M'$ $h$ $h$ $(W;M,M')$

Věta o -cobordismu $h$ dává podmínky pro to, kdy je -cobordismus triviální. Větu poprvé dokázal Stephen Smale , který obdržel Fieldsovu cenu za výsledky související s touto větou. S pomocí věty dokázal zobecněnou Poincarého domněnku pro dimenze . $h$ $\geq 5$

Vlastnosti

(Věta o -cobordismu) Jestliže je -cobordismus a a jsou jednoduše spojeny hladké (nebo po částech lineární) variety a , pak je difeomorfní ( po částech lineárně izomorfní ) až triviální -cobordismus. $h$ $(W;M,M')$ $h$ $M$ $M'$ $\operatorname {dim}W\geq 6$ $W$ $h$
- Zejména je difeomorfní . $M$ $M'$

Variace a zobecnění

Pokud odstraníme podmínku jednoduše připojených kobordantních variet a , pak překážkou triviality kobordismu mezi nimi je Whiteheadova torze [1] . Věta o -cobordismu říká, že kobordismus mezi dvěma varietami je triviální právě tehdy, když Whiteheadova torze zmizí. $M$ $M'$ $s$

Poznámky

↑ Whitehead Torsion // Wikipedie . — 28. 4. 2020.

Literatura

Milnor, J., Teorém kobordismu, $h$ Moskva, 1969;
Smale S., Zobecněná Poincareho domněnka v dimenzích větších než čtyři, The Ann. of Math., 2nd Ser., Vol. 74, No. 2. (září 1961), str. 391-406.