Booleovský axiom

Axiom existence booleanu ( axiom množiny podmnožin ) je formulován takto: „z libovolné množiny je možné vytvořit boolean , tedy množinu , která se skládá ze všech vlastních i nevlastních podmnožin dané množiny ." Podle teorie množin je matematicky tento axiom zapsán následovně: $d$ $b$ $A$

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)\ )

Booleovský axiom určuje typ množin (podmnožin množiny ), které musí být prvky generované množiny . Booleovský axiom zároveň neobsahuje algoritmus pro nalezení všech prvků vytvořené množiny . $A$ $d$ $d$

Booleovský axiom lze odvodit z následujících tvrzení:

$\exists d\forall b\ (b\subseteq a\to b\in d)$

$\forall d\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in d\land b\subseteq a)$

První z těchto tvrzení je jedním z důsledků booleovského axiomu a druhé je jedním z upřesnění výběrového schématu .

Provázený axiomem hlasitosti , jeden může prokázat jedinečnost Boolean pro každou sadu . Jinými slovy, lze dokázat, že booleovský axiom je ekvivalentní tvrzení $A$

\forall a\exists !d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

co je .

\forall a\exists d\ (d=\{b:b\subseteq a\}\quad \land \quad \forall d'\ (d'\neq d\to d'\neq \{b: b\subseteq a\})\ )

Alternativní formulace axiomu

$\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ , kde $b\subseteq a\Leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)$

$\forall a\exists d\ (d=\{b:b\subseteq a\})$

$\forall a\exists d\forall b\ (b\notin d\leftrightarrow \exists c\ (c\in b\land c\notin a))$

Booleovský axiom

Alternativní formulace axiomu

Viz také