Objemový axiom

Axiom objemu se nazývá následující tvrzení teorie množin :

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\v a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\to a_{1}=a_{2} )

Přepíšeme- li axiom objemu ve tvaru

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\v a_{1}\to b\v a_{2})\ \land \ \forall b\ (b\ v a_{2}\do b\v a_{1})\do a_{1}=a_{2})

pak lze axiom formulovat takto:

"Ať jsou dvě množiny jakékoli, pokud každý prvek 1. množiny patří do 2. množiny a každý prvek 2. množiny patří do 1. množiny, pak je první množina identická s druhou množinou."

Jiná formulace [1] :

"Dvě sady jsou si rovny právě tehdy, když se skládají ze stejných prvků."

Další formulace 3D axiomu

$\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\subseteq a_{2}\ \land \ a_{2}\subseteq a_{1}\to a_{1}=a_{ 2})$

$\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\neq a_{2}\to \existuje b\ (b\v a_{1}\ \veebar \ b\v a_{ 2})\ )$

Poznámky

Axiom objemu vyjadřuje nutnou podmínku rovnosti dvou množin. Postačující podmínka pro rovnost množin je odvozena z predikátových axiomů , a to: $=$

\forall a\ (a=a)

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\to (\varphi [a_{1}]\to \varphi [a_{2}]))

, kde je nějaký matematicky správný soud o , a je stejný soud, ale o .

\varphi [a_{1}]

a_{1}

\varphi [a_{2}]

a_{2}

Kombinací uvedené postačující podmínky pro rovnost množin s axiomem objemu získáme následující kritérium pro rovnost množin :

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\leftrightarrow \forall b\ (b\v a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2}) \ )

Toto kritérium rovnosti množin není o nic horší a o nic lepší než jiná podobná kritéria, včetně:

1) kritérium rovnosti komplexních čísel

\forall x\forall y\forall u\forall v\ (x,y,u,v\in \mathbb {R} \to (x+iy=u+iv\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v))

2) kritérium pro rovnost uspořádaných párů

\forall x\forall y\forall u\forall v\ (\ (x,y)=(u,v)\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v)\ )

3) kritérium pro rovnost neuspořádaných párů

\forall x\forall y\forall u\forall v\ (\{x,y\}=\{u,v\}\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v\quad \lor \quad x=v\ \land \ y=u)\ )

4) kritérium rovnosti dvou sekvencí

\{x_{n}\}=\{y_{n}\}\leftrightarrow \forall i\ (i\in \mathbb {N} \to x_{i}=y_{i})

Z výše uvedeného je zřejmé, že axiom objemu je organickou součástí axiomatiky teorie množin.

Axiom objemu se používá k prokázání jedinečnosti množiny, jejíž existence již byla deklarována [axiomem] nebo stanovena [důkazem věty].

Příklady

1. Důkaz jedinečnosti prázdné množiny

Existence [alespoň jedné] prázdné množiny je deklarována axiomem

\exists a\forall b\ (b\notin a)

Je třeba prokázat existenci nejvýše jedné množiny , pro kterou je tvrzení pravdivé $A$

\forall b\ (b\notin a)

Jinými slovy, musíme to dokázat

\exists \{0,1\}a\ (\forall b\ (b\notin a))

Nebo, co je totéž, je třeba prokázat

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\to a_{1 }=a_{2})

Důkaz

{\begin{aligned}\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\Leftrightarrow \forall b(b\notin a_{1}\ \land \ b\notin a_{2})\šipka doprava \forall b(b\notin a_{1}\šipka doleva doprava b\notin a_{2})\\\ \šipka doleva \forall b(b\do a_{1}\šipka doleva doprava b\v a_{2})\Šipka doprava a_{1}=a_{2}\end{aligned}}

Od , důkaz jedinečnosti prázdné množiny je hotov. $\exists a\forall b\ (b\notin a)\ \land \ \exists \{0,1\}a\forall b\ (b\notin a)\Leftrightarrow \exists \{1\}a \forall b\ (b\notin a)$

2. Důkaz jednoznačnosti množiny podmnožin

Existence [alespoň jedné] množiny podmnožin je deklarována axiomem

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

Je třeba prokázat existenci nejvýše jedné množiny , pro kterou je tvrzení pravdivé $d$

\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

Jinými slovy, musíme to dokázat

\exists \{0,1\}d\ (\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a))

Nebo, co je totéž, je třeba prokázat

\forall d_{1}\forall d_{2}\ (\forall b\ (b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b\ (b\in d_{ 2}\leftrightarrow b\subseteq a)\to d_{1}=d_{2})

Důkaz

{\begin{aligned}\forall b(b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b(b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \forall b((b\v d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ (b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a))\\\ \Rightarrow \forall b(b\in d_ {1}\leftrightarrow b\in d_{2})\Rightarrow d_{1}=d_{2}\end{aligned}}

Od , důkaz jedinečnosti množiny podmnožin je dokončen. $\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \exists \{0,1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \exists \{1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$

Viz také

Axiomatika teorie množin

Poznámky

↑ Stoll R. Sady. Logika. axiomatických teorií. - M., Osvícení, 1968. - Náklad 70 000 výtisků. - str. 13

Objemový axiom

Další formulace 3D axiomu

Poznámky

Viz také

Poznámky

Literatura