Algebra vrcholových operátorů

Algebry vertexových operátorů byly poprvé představeny Richardem Borcherdsem v roce 1986 . Důležité pro teorii strun , konformní teorii pole a příbuzné oblasti fyziky. Axiómy algebry operátorů vrcholu jsou formální algebraický výklad toho, co fyzici nazývají chirální algebrou .

Algebry vertexových operátorů se ukázaly jako užitečné v čistě matematických oblastech, jako je Langlandsova geometrická korespondence a důkaz monstrózního nesmyslného dohadu .

Příklady

Svaz Z v R dává superalgebru vrcholových operátorů odpovídajících jednomu komplexnímu fermionu . Toto je další způsob, jak formulovat bosonovo-fermionickou korespondenci . Fermionové pole ψ( z ) a jeho konjugované pole ψ † ( z ) jsou dány vztahem:

\psi (z)=\součet e_{n}z^{-n-1},\ \ \psi ^{\dagger }(z)=\součet e_{n}^{*}z^{ n},\ \ \{e_{n},e_{m}\}=0,\ \ \{e_{m},e_{n}^{*}\}=\delta _{m,n}I .

Korespondence mezi fermiony a jedním nabitým bosonickým polem

\phi (z)=\sum a_{n}z^{-n-1},\ \ [a_{m},a_{n}]=m\delta _{n+m,0}I ,\ \ Ua_{n}U^{-1}=a_{n}-\delta _{n,0}I

má formu

\phi (z)=\;\colon \psi ^{\dagger }(z)\psi (z)\colon

\psi (z)=U\;\colon \exp \int \phi (z)\colon

kde normální exponenty jsou interpretovány jako vertexové operátory.

Svaz √2 Z v R dává algebře vrcholového operátora odpovídající afinní Kac-Moodyho algebře pro SU ( 2) na první úrovni . Realizují jej obory

H(z)=\phi(z)\otimes I - I\otimes \phi(z)

E(z)=\psi(z)\otimes \psi^\dagger(z)

F(z)=\psi^\dagger(z)\otimes \psi(z)

Literatura

Lepowski D., Lee H. Úvod do algeber vrcholových operátorů a jejich reprezentace. - Iževsk: RHD 2008. - 424 s. — ISBN 978-5-93972-664-1
Kats VG Vertex algebry pro začátečníky / Per. z angličtiny. — M.: MTsNMO, 2005. — 200 s. — ISBN 5-94057-124-7 .
Shekhtman VV Vertex algebry související s algebraickými odrůdami. — s. 91-104 Archivováno 8. února 2013 na Wayback Machine .