Alikvotní sekvence

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. října 2019; ověření vyžaduje 1 úpravu .

V matematice je alikvotní posloupnost rekurzivní posloupnost, ve které je každý člen součtem správných dělitelů předchozího členu. Alikvotní posloupnost začínající nějakým kladným celým číslem k lze formálně definovat pomocí součtové funkce dělitelů σ 1 takto [1] :

s 0 = k s n = σ 1 ( s n −1 ) − s n −1 .

Například alikvotní sekvence pro číslo 10 je 10, 8, 7, 1, 0, protože:

σ 1 (10) − 10 = 5 + 2 + 1 = 8 σ 1 (8) − 8 = 4 + 2 + 1 = 7 σ 1 (7) − 7 = 1 σ 1 (1) − 1 = 0

Mnoho alikvotních sekvencí končí nulou (sekvence A080907 v OEIS ) a všechny takové sekvence končí prvočíslem následovaným jedničkou (protože jediným správným dělitelem prvočísla je jedna) a nulou (protože jedna nemá žádné vnitřní dělitele ). Existuje také několik případů, kdy je alikvotní posloupnost nekonečná:

Délky alikvotních sekvencí začínajících n :

1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, 4, 2, 7, 3, 6, 2, 5, 1, 7, 3, 1, 2, 15, 2, 3, 6, 8, 3, 4, 2, 7, 3, 4, 2, 14, 2, 5, 7, 8, 2, 6, 4, 3, ... (sekvence A044050 v OEIS ).

Poslední prvek alikvotních sekvencí (kromě 1) začínající n :

1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 3, 7, 11, 3, 13, 7, 3, 3, 17, 11, 19, 7, 11, 7, 23, 17, 6, 3, 13, 28, 29, 3, 31, 31, 3, 7, 13, 17, 37, 7, 17, 43, 41, 3, 43, 43, 3, 3, 47, 41, 7, 43, ... (sekvence A115350 v OEIS ).

Čísla, jejichž alikvotní sekvence končí 1:

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (sekvence A08 v OEIS ).

Čísla, jejichž alikvotní posloupnosti končí dokonalým číslem :

25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913, ... (sekvence A063769 v OEIS ).

Čísla, jejichž alikvotní sekvence končí cyklem o délce 2:

220 284 562 1064 1184 1188 1210 1308 1336 1380 1420 1490 1604 1690 1692 1772 1816 1898 2008 1521 sekvence v E07 2152 ).

Čísla, u kterých není známo, zda jsou jejich alikvotní posloupnosti konečné nebo periodické:

276 306 396 552 564 660 696 780 828 888 966 996 1074 1086 1098 1104 1134 1218 1302 1314 1320 1338 135.0 1398, 1410, 1464, 1476, 1488, ... (sekvence A131884 v Oeis ).

Důležitým dohadem týkajícím se alikvotních sekvencí, způsobených katalánštinou , je předpoklad, že jakákoli alikvotní sekvence končí jedním z uvedených způsobů – prvočíslem, dokonalým číslem, množinou přátelských čísel nebo množinou doprovodných čísel [2] . Jinak musí existovat čísla, jejichž alikvotní posloupnost je nekonečná a aperiodická . Takovým číslem může být kterékoli z výše uvedených čísel, pro které není alikvotní sekvence zcela určena. Prvních pět kandidátů se nazývá Lehmerova pětka (podle amerického matematika Dicka Lehmera ): 276 , 552, 564, 660 a 966 [3] .

Do prosince 2013 je známo 898 kladných celých čísel menších než 100 000 , pro která nebyla stanovena alikvotní sekvence, a 9 205 takových čísel menších než 1 000 000 [4] .

Vlastnosti

Alikvotní sekvence si po dlouhou dobu zachovává svou paritu [5] [6] . Ke změně parity dochází u příslušníků druhu a

Poznámky

  1. ↑ Weisstein, Eric W. Aliquot Sequence  na webu Wolfram MathWorld .
  2. ↑ Weisstein, Eric W. Catalan's Aliquot Sequence Conjecture  na webu Wolfram MathWorld .
  3. ↑ Lehmer Five (W. Creyaufmüller)
  4. ↑ Alikvotní stránky (W. Creyaufmüller)
  5. ↑ Richard K. Guy a JL Selfridge. Co řídí alikvotní sekvenci?  (angl.)  // Matematika počítání : deník. - 1975. - Sv. 29 , č. 129 . - str. 101-107 .
  6. ↑ Wieb Bosma. Alikvotní sekvence s malými počátečními hodnotami .

Literatura

Odkazy