Aritmeticko-geometrická progrese

Aritmeticko-geometrická progrese je posloupnost čísel daná rekurzivním vztahem , kde a jsou konstanty [1] . Konkrétními případy aritmeticko-geometrické progrese jsou aritmetická progrese (pro ) a geometrická progrese (pro ). $u_{{n}}$ $u_{{n+1}}=qu_{{n}}+d$ $q$ $d$ $q=1$ $d=0$

Obecný termínový vzorec

Uvažujme počáteční vztah: at $u_{{n+1}}=qu_{{n}}+d$ $n=1,2,...$

Nechť v tomto poměru a . Přidáním výrazu do obou částí dostaneme $q\neq 1$ $d\neq 0$ ${\frac {d}{q-1))$

u_{n+1}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{n}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)

u_{n}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{n-1}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)

\ldots

u_{3}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{2}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)

u_{2}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{1}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)

Vynásobením uvedených rovností a snížením stejných faktorů (nebo nahrazením levé strany rovnice další v pořadí místo závorek na pravé straně) získáme explicitní vzorec pro člen aritmeticko-geometrické posloupnosti:

u_{n+1}=q^{n}(u_{1}+{\frac {d}{q-1)))-{\frac {d}{q-1))

Vlastnosti

Aritmeticko-geometrická posloupnost je reciproká posloupnost druhého řádu a je dána rovnicí:

u_{{n+1}}=(q+1)u_{{n}}-qu_{{n-1}}

Rozdíl aritmeticko-geometrické progrese je určen vzorcem $d$

d={\frac {u_{{n}}^{{2}}-u_{{n-1}}u_{{n+1}}}{u_{{n}}-u_{{n-1 }}}}

Posloupnost je geometrická progrese se stejným jmenovatelem . $a_{{n}}=u_{{n+1}}-u_{{n}}$ $q$

Posloupnost dílčích součtů členů aritmeticko-geometrické posloupnosti je reciproká posloupnost třetího řádu a je dána rovnicí:

S_{{n+1}}=(q+2)S_{{n}}-(2q+1)S_{{n-1}}+qS_{{n-2}}

Je-li posloupnost dílčích součtů aritmeticko-geometrická posloupnost, pak posloupnost samotná je geometrickou posloupností.

Poznámky

↑ Sukonnik Ya. N. Aritmeticko-geometrická progrese // Kvant . - 1975. - č. 1. - S. 36-39.