Vnořené radikály

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 11. prosince 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

V algebře je vnořený radikál radikál obsažený v jiném radikálu. Například

\sqrt{5-2\sqrt{5}\ },

nebo složitější příklad

{\sqrt[ {3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[ {3}]{4}}\ }}.

Hodnoty všech vnořených radikálů se nazývají radikálně vyjádřitelné .

Zjednodušení vnořených radikálů

Některé vnořené radikály lze zjednodušit. Například:

{\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}\,,

{\sqrt[ {3}]{{\sqrt[ {3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[ {3}]{2}}+{\sqrt[ { 3}]{4))}{{\sqrt[ {3}]{9))))\,.

Obecně je zjednodušení obtížný problém, pokud je vůbec možné. Následující vzorec umožňuje zjednodušení, pokud je racionální: $R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c))$

{\sqrt {a\pm b{\sqrt {c))))={\sqrt {\frac {a+R}{2))}\pm {\sqrt {\frac {aR}{2 }}}.

Například,

{\sqrt {a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2))))}={\sqrt {\frac {a+b}{2))}\pm {\ sqrt {\frac {ab}{2}}}\quad (|a|\geq |b|).

Zejména pro komplexní čísla ( ): $c=-1$

{\sqrt {a+bi}}=\pm \left({\sqrt {{\frac {\left|z\right|+a}{2))))+i\jméno operátora{sgn}(b){ \sqrt {{\frac {\left|z\right|-a}{2))))\right),

kde

\left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.

Nekonečně vnořené radikály

Obecná ustanovení

V některých případech mohou být nekonečně vnořené radikály totožné s nějakým racionálním číslem, například výrazem

x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots ))))))))))

rovná se 2. Abychom to viděli, odmocnime obě strany výrazu a odečteme 2:

x^{2}-2={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots )))))))=x

;

x^{2}-x-2=0

;

x_{1}=2,x_{2}=-1

Je zřejmé, že to nemůže být hodnota původního radikálu. $-jeden$

Triviální případy

Pro druhou odmocninu: ${\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {\cdots )))))))))))))={\frac {b+ {\sqrt {b^{2}+4a}}}{2}}$ ;
Pro kořen stupně $n$ ${\sqrt[ {n}]{a+b{\sqrt[ {n}]{a+b{\sqrt[ {n}]{a+b{\sqrt[ {n}]{a+b{\ sqrt[ {n}]{\cdots }}}}}}}}}}=x,$ kde je řešení rovnice . $X$ $x^{n}-bx-a=0$

Netriviální případy

Ramanujanův vzorec : $x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\ sqrt {a(x+2n)+(n+a)^{2}+(x+2n){\sqrt {\cdots )))))))))))$

Speciální případy

Zlatý poměr : $\phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {\cdots ))))))))))$
plastové číslo : $\rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{\cdots }}}}}}}}$
Číslo pí : ${\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2} }{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}{\sqrt ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac { 1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots$

Odkazy

Weisstein, Eric W. Nested Radicals ve společnosti Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Square Root ve Wolfram MathWorld .
Snížení hloubky vnoření výrazů zahrnujících odmocniny
Zjednodušení druhých odmocnin