Wronskian

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. ledna 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Wronskian neboli Wronského determinant je funkce definovaná pro systém funkcí na intervalu , které jsou diferencovatelné -krát. Je dán jako determinant následující matice : $W(f_{1},\tečky f_{n})(x)$ $f_1(x),\ldots f_n(x)$ $já$ $(n-1)$

W(f_1,\tečky f_n)(x) = \det\begin{pmatrix} f_1(x) & f_2(x) &\cdots & f_n(x) \\ f'_1(x) & f'_2(x ) & \cdots & f'_n(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x ) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \end{pmatrix};\qquad x\in I,

Wronskian je také funkce definovaná determinantem obecnější formy. Jmenovitě nechť je dáno n vektorových funkcí s n složkami: . Potom bude determinant vypadat takto (abychom se vyhnuli nesrovnalostem, označíme ho ): $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ $f_i=(f_i^1, \ldots ,f_i^n)$ $W_2$

W_2(f_1,\tečky f_n)(x) = \det\begin{pmatrix} f_1^1(x) & f_2^1(x) &\cdots & f_n^1(x) \\ f_1^2(x) & f_2^2(x) & \cdots & f_n^2(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^n(x) & f_2^n(x) & \cdots & f_n ^n(x) \end{pmatrix};\qquad x\in I,

Pojmenován po polském matematikovi Józefu Wronskim . Termín „Wronskian“ navrhl skotský matematik Thomas Muir ve své monografii o determinantech z roku 1882 [1] .

Vronského determinant se používá k řešení diferenciálních rovnic , například ke zjištění, zda řešení nalezená pro homogenní lineární diferenciální rovnici (nebo soustavu rovnic) jsou lineárně nezávislá. To pomáhá při hledání jeho obecného řešení .

Vlastnosti

Pokud jsou lineárně závislé na , pak . $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ $já$ $\forall x\in I\quad W(x)=0$

Pokud Wronského determinant na intervalu není roven nule alespoň v jednom bodě, pak jsou funkce lineárně nezávislé (přímý důsledek předchozí vlastnosti). Opak obecně neplatí (viz příklad 3), ale pro případ, kdy jsou funkce řešením diferenciální rovnice, platí silnější důsledky (viz níže). $f_1(x), \ldots , f_n(x)$

Jestliže jsou řešení lineární homogenní diferenciální rovnice tého řádu, pak se nazývá Wronskian této rovnice . Wronského determinant homogenní diferenciální rovnice je buď shodně roven nule, což znamená, že jsou lineárně závislé, nebo v žádném bodě nezaniká , což znamená, že funkce jsou lineárně nezávislé . $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ $n$ $W(f_1; \ldots ,f_n)$ $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ $já$ $f_1(x), \ldots , f_n(x)$

$W'(x) = W_1(x) + W_2(x) + \cdots + W_n(x)$ , kde je Wronského determinant, ve kterém je řádek s číslem i nahrazen řadou derivací: $W_i$

$W_i(x) = \det\begin{pmatrix} f_{11}(x) & f_{12}(x) &\cdots & f_{1n}(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ vdots \\ f_{i1}'(x) & f_{i2}'(x) & \cdots & f_{in}'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{n1 }(x) & f_{n2}(x) & \cdots & f_{nn}(x) \end{pmatrix}$

Tento vzorec platí pro derivování determinantů libovolných čtvercových matic.

Příklady

Ověřte, že Wronskián lineárně závislých funkcí je roven nule: $1, x^2, 3+2x^2$

W(f_1,f_2,f_3)(x) = \begin{vmatrix} 1 & x^2 & 3+2x^2 \\ 0 & 2x & 4x \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 8x- 8x = 0,\qquad x\in\mathbb R.

Nyní zkontrolujme lineární nezávislost funkcí $1,x,x^3$

W(f_1,f_2,f_3)(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & x^3\\ 0 & 1 & 3x^2 \\ 0 & 0 & 6x \end{vmatrix} = 6x, \qquad x\in\mathbb R.

Jsou body, kde je Wronskian nenulový (v našem případě je to jakýkoli bod kromě x=0). Proto na jakémkoli intervalu budou tyto funkce lineárně nezávislé.

Uveďme nyní příklad, kde je Wronskian všude nula, ale funkce jsou stále lineárně nezávislé. Definujme dvě funkce:

f_1(x)=x^2;\qquad f_2(x) = \begin{cases} -x^2, & x < 0, \\ x^2, & x \geqslant 0. \end{cases}

Obě funkce jsou diferencovatelné všude (včetně nuly, kde derivace obou funkcí mizí). Ověřte si, že Wronskian je všude nula.

W(f_1,f_2)(x) = \begin{cases} \begin{vmatrix} x^2 & -x^2 \\ 2x & -2x \end{vmatrix} = 0, & \; x < 0, \\[15pt] \begin{vmatrix} x^2 & x^2 \\ 2x & 2x \end{vmatrix} = 0, & \; x \ge 0 \end{cases}

Tyto funkce jsou však zjevně lineárně nezávislé. Vidíme, že rovnost Wronskiana k nule neznamená lineární závislost v případě libovolného výběru funkcí.

Viz také

Poznámky

↑ Matematika XVIII století // Historie matematiky. - M .: Nauka, 1972. - T. III. - S. 70.

Literatura

Romanko V.K. kapitoly 5 a 6 // Kurz diferenciálních rovnic a variačního počtu. - 2. vyd. - M . : Laboratoř základních znalostí, 2002. - S. 158-164, 174-177. - (Technická univerzita). - 3000 výtisků. — ISBN 5-93208-097-3 .