Harmonické vibrace

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 4. dubna 2020; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Harmonické kmity jsou kmity , při kterých se fyzikální veličina v čase mění podle harmonického ( sinusového , kosinusového) zákona.

Matematický popis

Rovnice harmonického kmitání má tvar

x(t)=A\sin(\omega t+\varphi _{0})

nebo

x(t)=A\cos(\omega t+\varphi _{0})

kde

x - odchylka oscilující hodnoty v aktuálním čase t od průměrné hodnoty za období (např. v kinematice - posunutí, odchylka oscilačního bodu od rovnovážné polohy);
A je amplituda kmitání, tzn. maximální odchylka kolísavé hodnoty od průměrné hodnoty za období, rozměr A se shoduje s rozměrem x ;
ω ( radiány / s , stupně / s) - cyklická frekvence, která ukazuje, o kolik radiánů (stupňů) se změní fáze kmitání za 1 s;
$(\omega t+\varphi _{0})=\varphi$ (radián, stupeň) - plná fáze kmitání (zkráceně fáze, nezaměňovat s počáteční fází);
$\varphi_{0}$ (radián, stupeň) je počáteční fáze kmitání, která určuje hodnotu celkové fáze kmitání (a samotnou hodnotu x ) v čase t = 0.

Diferenciální rovnice popisující harmonické kmitání má tvar

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}x=0.

Jakékoli netriviální [1] řešení této diferenciální rovnice je harmonické kmitání s cyklickou frekvencí $\omega .$

Příklady

Při rovnoměrném pohybu bodu po kružnici vytváří harmonické kmitání průmět (ortogonální) tohoto bodu na libovolnou přímku ležící ve stejné rovině [2] . Kmity, které se blíží harmonickým, jsou vytvářeny působením gravitace pomocí malého závaží zavěšeného na tenkém dlouhém závitu – matematickém kyvadle – při malých amplitudách [3] . Harmonické kmity za působení pružné síly jsou vykonávány závažím upevněným mezi dvěma pružinami na vodorovném vedení [4] . Harmonické jsou torzní kmity vertikálně zavěšeného závaží roztočeného působením elastické síly, stejné vibrace vykonává vyvažovací tyč mechanických hodinek [5] .

Obecně platí, že hmotný bod vykonává harmonické kmity, pokud k nim dojde v důsledku dopadu na bod síly úměrné posunutí kmitajícího bodu z rovnovážné polohy a směřující proti tomuto posunutí.

Příklady harmonických kmitů jsou nejen v mechanice - např. v LC obvodu bez disipativních ztrát dochází v průběhu času ke změnám náboje na kapacitě , napětí a proudu v obvodu podle harmonického zákona.

Druhy vibrací

Volné kmitání se provádí působením vnitřních sil systému poté, co byl systém vyveden z rovnováhy. Aby volné kmitání bylo harmonické, je nutné, aby kmitací systém byl lineární (popsaný lineárními pohybovými rovnicemi) a nedocházelo v něm k žádné ztrátě energie (při nenulovém rozptylu dochází po vybuzení v systému k tlumeným kmitům ).
Vynucené kmity se provádějí pod vlivem vnější periodické síly. Aby vynucené kmitání bylo harmonické, stačí, aby byl kmitavý systém lineární (popsaný lineárními pohybovými rovnicemi) a vnější síla (náraz) se v čase měnila jako harmonické kmitání (to znamená, že časová závislost této síly , podle pořadí, být sinusový ).

Aplikace

Harmonické vibrace se odlišují od všech ostatních typů vibrací z následujících důvodů:

Velmi často [6] lze malé kmity, volné i vynucené , které se vyskytují v reálných systémech, považovat za harmonické kmity nebo jim velmi blízké.
Jak Fourier prokázal v roce 1822 , široká třída periodických funkcí může být rozšířena na součet trigonometrických složek – ve Fourierově řadě . Jinými slovy, jakékoli periodické kmitání může být reprezentováno jako součet harmonických kmitů s odpovídajícími amplitudami, frekvencemi a počátečními fázemi. Mezi členy tohoto součtu je harmonické kmitání s nejnižší frekvencí, které se nazývá základní kmitočet, a toto kmitání samo je prvním harmonickým nebo základním tónem, zatímco frekvence všech ostatních členů, harmonických kmitů, jsou násobky základní frekvence a tyto oscilace se nazývají vyšší harmonické nebo podtóny - první, druhá atd. [7]
U široké třídy systémů je odezvou na harmonický efekt harmonická oscilace (vlastnost linearity), zatímco vztah mezi efektem a odezvou je stabilní charakteristikou systému. S přihlédnutím k předchozí vlastnosti nám to umožňuje studovat průchod kmitů libovolného tvaru soustavami.

Viz také

Poznámky

↑ To znamená, že není identicky rovno nule.
↑ Landsberg, 2003 , s. 17.
↑ Landsberg, 2003 , s. 2.25.
↑ Landsberg, 2003 , s. 27-29.
↑ Landsberg, 2003 , s. 29-30.
↑ Implikovaná podmínka je, že vlastnosti systému musí být konstantní v čase (což ve skutečnosti poměrně často platí, alespoň přibližně).
↑ Landsberg, 2003 , s. 43.

Literatura

Elementární učebnice fyziky / Ed. G.S. Landsberg . - 13. vyd. - M. : FIZMATLIT , 2003. - T. 3. Kmity a vlny. Optika. Atomová a jaderná fyzika.
Khaikin S. E. Fyzikální základy mechaniky. - M. , 1963.
A. M. Afonin. Fyzikální základy mechaniky. - Ed. MSTU im. Bauman, 2006.
Gorelik G.S. Oscilace a vlny. Úvod do akustiky, radiofyziky a optiky. - M. : Fizmatlit, 1959. - 572 s.