Geometrické programování

Geometrické programování je odvětví matematického programování, které studuje přístup k řešení nelineárních optimalizačních problémů speciální struktury. Termín poprvé zavedli v roce 1967 R. Duffin, E. Peterson a K. Zener. Název disciplíny je dán tím, že jednou z hlavních v předkládané teorii je nerovnost mezi geometrickým průměrem a aritmetickým průměrem a její zobecnění. Některé geometrické úlohy a metody jejich řešení posloužily jako předpoklad pro rozvoj GP. Základním konceptem GP je posein .

Formulace problému geometrického programování

Najděte minimální hodnotu funkce pod omezeními: $g_{{0}}(t)$

t_{{1}}>0,t_{{2}}>0,...,t_{{m}}>0

g_{{1}}(t)\leqslant 1,g_{{2}}(t)\leqslant 1,...,g_{{p}}(t)\leqslant 1,

Tady

g_{{k}}(t)=\součet _{{i\in J[k]}}c_{{i}}t_{{1}}^{{a_{{i1}}}}t_{{ 2}}^{{a_{{i2}}}}...t_{{m}}^{{a_{{im}}}},k=0,1,...,p

kde

J[k]=(m_{{k}},m_{{k}}+1,m_{{k}}+2,...,n_{{k}})k=0,1,.. .,str

m_{{0}}=1,m_{{1}}=n_{{0}}+1,m_{{2}}=n_{{1}}+1,...,m_{{p} }=n_{{p-1}}+1,n_{{p}}=p

Funkce - posinomy . $g_{{k}}(t)$

Příklad úloh z geometrického programování

Příklad 1

Najděte délky stran obdélníku daného obvodu, který má největší plochu. Totéž pro trojúhelník.

Příklad 2

\prod \limits _{{i=1}}^{{n}}x_{{i}}^{{\beta _{{i}}}}\rightarrow \max

pod omezeními

\sum \limits _{{i=1}}^{{n}}\alpha _{{i}}x_{{i}}=S,\ x_{i}>0,\ x_{i}\in {\mathbb {R}),

kde $\beta _{i}>0,\ \alpha _{i}>0,\beta _{i}\in {\mathbb {R)),\alpha _{i}\in {\mathbb {R)) ,\ i=\overline {1,n},$

Řešením problému je vektor se složkami kde $x_{{}}^{{*}}$ $x_{{i}}^{{*}}={\frac {\beta _{i}S}{\alpha _{i}\beta }},$ $\ \beta =\sum \limits _{{i=1}}^{{n}}\beta _{i}.$

Související výsledky

Monom
Pozin

Literatura

R. Duffin, E. Peterson, K. Zener. "Geometrické programování - teorie a aplikace". — 1967.
R. Duffin, E. Peterson, K. Zener. Geometrické programování. - M .: Mir, 1972. - 311 s.