Disjunktní unie

Disjunktní sjednocení (také disjunktní sjednocení nebo disjunktní součet ) je modifikovaná operace sjednocení množin v teorii množin , která neformálně spočívá ve sjednocení disjunktních „kopií“ množin. Zejména disjunktní spojení dvou konečných množin sestávajících z prvků a prvků bude obsahovat přesně prvky, i když se samy množiny protínají. $A$ $b$ $a+b$

Definice

Dovolit je rodina souborů uvedených podle indexů z . Pak je disjunktní spojení této rodiny množinou $\{A_i | já \v já\}$ $já$

\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\{(x,i)|x\in A_{i}\}

Prvky disjunktního spojení jsou uspořádané páry . Existuje tedy index ukazující, ze které sady prvek vstoupil do unie. Každá z množin je kanonicky zasazena do disjunktivního spojení jako množina $(x, i)$ $i$ $A_{i}$ $A_{i}$

A_i^* = \{(x,i) | x \in A_i\}.

Pro soubory a nemají společné prvky, i když . V degenerovaném případě, kdy se množiny rovnají nějaké konkrétní , je disjunktní sjednocení kartézským součinem množiny a množiny , tj. $\forall i, j \in I: i \neq j$ $A_i^*$ $A_j^*$ $A_i \cap A_j \neq \varnothing$ $A_i \forall i \in I$ $A$ $A$ $já$

\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\times I.

Použití

Někdy uvidíte notaci pro disjunktní spojení dvou množin nebo následující pro rodinu množin: $A+B$

\sum_{i\in I}A_i.

Tento zápis znamená, že mohutnost disjunktivního spojení se rovná součtu mohutností množin v rodině. Pro srovnání, kartézský součin má mocninu rovnou součinu mocnin.

V kategorii množin je disjunktním sjednocením přímý součet . Termín disjunktní sjednocení se také používá ve vztahu ke sjednocení rodiny párově disjunktních množin. V tomto případě je disjunktní sjednocení označeno jako obvyklé sjednocení množin , které se s ním shoduje. Tento zápis se často vyskytuje v informatice . Formálněji, pokud jde o rodinu sad, pak $C$

\bigcup_{A \in C} A

je disjunktním svazkem ve výše uvedeném smyslu tehdy a pouze tehdy, je-li pro kteroukoli a z následujících podmínek splněna: $A$ $B$ $C$

A \neq B \implies A \cap B = \varnothing.

Variace a zobecnění

Pokud jsou všechny množiny disjunktního svazu vybaveny topologií, pak disjunktní svazek topologických prostorů (tj. množin obdařených topologií) má sám o sobě přirozenou topologii – nejsilnější topologii takovou, že každé zahrnutí je spojitá mapa . Disjunktní spojení s touto topologií se nazývá disjunktní spojení topologických prostorů.

Viz také

Literatura

Aleksandryan R. A., Mirzakhanyan E. A. Obecná topologie. - M .: Vyšší škola, 1979. - S. 132.
Spanier E. Algebraická topologie . - M .: Mir, 1971. - S. 9 .
Melnikov O. V. a kol. Obecná algebra: Ve 2 svazcích T. 1. - M. : Nauka, 1990. - S. 13. - ISBN 5020144266 .