Diskrétní Abelova transformace

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 30. dubna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Diskrétní Abelova transformace je následující identita:

\sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-\sum \limits _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},

kde , jsou sekvence , while a . Tato transformace byla pojmenována po norském matematikovi Nielsi Henriku Abelovi . V matematické analýze se používá při dokazování Dirichletova testu konvergence . $n\geqslant m\geqslant 1$ $(a_{k}),(b_{k}),(B_{k})$ $(k\in \mathbb {N} )$ ${\displaystyle B_{k}=b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{k))$ $B_{0}=0$

Abelova transformace je samostatným protějškem integrace po částech a někdy se nazývá sumace po částech .

Důkaz

My máme

{\begin{aligned}\sum _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}(B_{ k}-B_{k-1})=\\&=\součet _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\součet _{k=m}^{n}a_{ k}B_{k-1}=\\&=\součet _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\součet _{k=m-1}^{n-1} a_{k+1}B_{k}=\\&=a_{n}B_{n}+\součet _{k=m}^{n-1}a_{k}B_{k}-\součet _ {k=m}^{n-1}a_{k+1}B_{k}-a_{m}B_{m-1}=\\&=a_{n}B_{n}-a_{m} B_{m-1}-\součet _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},\end{aligned}}

Q.E.D.