Fresnelova difrakce

Fresnelova difrakce je difrakční obrazec , který je pozorován v malé vzdálenosti od překážky za podmínek, kdy hranice obrazovky tvoří hlavní příspěvek k interferenčnímu obrazci .

Fresnelova difrakce : $F={\frac {\rho ^{2}}{z\lambda }}\geqslant 1$
Fraunhoferova difrakce : $F={\frac {\rho ^{2}}{z\lambda }}\ll 1$

Na obrázku je schematicky (vlevo) neprůhledná clona s kulatým otvorem ( apertura ), nalevo od kterého je zdroj světla . Obraz je fixován na jiné obrazovce - vpravo. Vlivem difrakce se světlo procházející otvorem rozchází, takže oblast, která byla ztmavena podle zákonů geometrické optiky , bude částečně osvětlena . V oblasti, která by byla osvětlena přímočarým šířením světla, je pozorováno kolísání intenzity osvětlení v podobě soustředných prstenců.

Difrakční obrazec pro Fresnelovu difrakci závisí na vzdálenosti mezi stínítky a na umístění světelných zdrojů. Lze jej vypočítat za předpokladu, že každý bod na hranici apertury vyzařuje sférickou vlnu podle Huygensova principu . V pozorovacích bodech na druhé obrazovce se vlny buď vzájemně posilují, nebo se ruší v závislosti na rozdílu drah .

Fresnelův integrál

Ve skalární teorii difrakce je rozložení elektrického pole difrakčního světla v bodě (x, y, z) dáno Rayleigh-Sommerfeldovým výrazem:

E(x,y,z)=-{i \over \lambda }\iint _{{-\infty }}^{{+\infty }}{E(x',y',0){\frac { e^{{ikr}}}{r}}\cos \theta }dx'dy'

kde , je imaginární jednotka , a je kosinus úhlu mezi směry z a r . V analytické podobě lze tento integrál reprezentovat pouze pro nejjednodušší geometrie otvorů, proto se obvykle počítá numerickými metodami. $r={\sqrt {(xx')^{2}+(yy')^{2}+z^{2))}$ $i$ $\cos \theta ={\frac {z}{r))$

Fresnelova aproximace

Hlavním problémem při výpočtu integrálu je výraz pro r . Nejprve zjednodušíme výpočty provedením změny proměnných:

{\displaystyle \rho ^{2}=(xx')^{2}+(yy')^{2))

Dosazením tohoto výrazu za r zjistíme:

r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}

Používáme rozšíření Taylorovy řady

{\sqrt {1+u}}=(1+u)^{{1/2}}=1+{\frac {u}{2}}-{\frac {u^{2}}{8} }+\cdots

a vyjádřit r jako

r=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z ^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \ vpravo]=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots

Pokud vezmeme v úvahu všechny členy expanze, bude to přesné vyjádření [1] . Tento výraz dosadíme do argumentu exponenciální funkce pod integrálem; klíčovou roli ve Fresnelově aproximaci hraje zanedbání třetího členu v expanzi, o kterém se předpokládá, že je malý. Aby to bylo možné, musí to mít malý vliv na exponent. Jinými slovy, musí být mnohem menší než perioda exponentu, tj .: $2\pi$

k{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi .

Vyjádření k pomocí vlnové délky,

{\displaystyle k={2\pi \over \lambda ))

dostaneme následující poměr:

{\frac {\rho ^{4}}{z^{3}\lambda }}\ll 8

Vynásobením obou stran dostaneme $z/\lambda$

{\frac {\rho ^{4}}{z^{2}\lambda ^{2}}}\ll 8{z \over \lambda }

nebo nahrazením dříve získaného výrazu za ρ 2 ,

{\frac {[(xx')^{2}+(yy')^{2}]^{2}}{z^{2}\lambda ^{2}}}\ll 8{z \over \ lambda}

Pokud je tato podmínka splněna pro všechny hodnoty x , x' , y a y' , pak můžeme třetí člen v Taylorově expanzi zanedbat. Navíc, pokud je třetí člen malý, pak všechny následující členy vyšších řádů jsou také malé a lze je zanedbat. Potom lze výraz aproximovat pomocí dvou expanzních členů:

r\přibližně z+{\frac {(xx')^{2}+(yy')^{2}}{2z}}

Tento výraz se nazývá Fresnelova aproximace a dříve získaná nerovnost je podmínkou použitelnosti této aproximace.

Fresnelova difrakce

Podmínka použitelnosti je spíše slabá a umožňuje nám brát všechny charakteristické rozměry jako srovnatelné hodnoty, pokud je otvor mnohem menší než délka dráhy. Navíc, protože nás zajímá pouze malá oblast poblíž zdroje, x a y jsou mnohem menší než z , předpokládejme, že to znamená , že a r ve jmenovateli lze aproximovat výrazem . $\theta \cca 0$ $\cos \theta \cca 1$ $r\přibl$

Na rozdíl od Fraunhoferovy difrakce musí Fresnelova difrakce odpovídat za zakřivení čela vlny , aby správně zohlednila relativní fáze interferujících vln.

Elektrické pole pro Fresnelovu difrakci v bodě (x,y,z) je dáno jako:

E(x,y,z)=-{i \over \lambda }{e^{{ikz}} \over z}\iint _{{-\infty }}^{{+\infty }}E(x ',y',0)e^{{{ik \over 2z}[(xx')^{2}+(yy')^{2}]}}dx'dy'

Toto je Fresnelův difrakční integrál; to znamená, že je-li Fresnelova aproximace platná, šířící se pole je vlna začínající v apertuře a pohybující se podél z . Integrál moduluje amplitudu a fázi kulové vlny. Analytické řešení tohoto výrazu je možné jen ve vzácných případech. Pro další zjednodušení platné pouze pro mnohem větší vzdálenosti od zdroje difrakce viz Fraunhoferova difrakce .

Viz také

Poznámky

↑ Aproximace však byla v předchozím kroku, kdy jsme předpokládali, že jde o skutečnou vlnu. Ve skutečnosti neexistuje žádné skutečné řešení vektorové Helmholtzovy rovnice , pouze pro skalární. Viz aproximace skalárních vln $e^{{ikr}}/r$

Literatura

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Sivukhin DV Obecný kurz fyziky. — M. . - T. IV. Optika.

Odkazy

http://www.falstad.com/diffraction/