Grunwald-Letnikov diferenciální integrál

V matematice je Grunwald–Letnikov diferenciální integrál jedním z hlavních zobecnění derivace ve zlomkovém počtu , který umožňuje, aby derivace byly brány neceločíselný počet časů. Zavedli jej Anton Karl Grunwald v roce 1867 a A. V. Letnikov v roce 1868.

Konstrukce Grunwald-Letnikovova diferenciálního integrálu

Vzorec pro derivaci

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h))

lze použít rekurzivně pro získání derivátů vyššího řádu. Například pro derivaci druhého řádu dostaneme:

f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=

=\lim _{h_{1}\to 0}{\frac {\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{1}+h_{2 })-f(x+h_{1})}{h_{2}}}-\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{2})-f (x)}{h_{2}}}}{h_{1}}}.

Za předpokladu, že všechny přírůstky mají tendenci k nule stejným způsobem, lze tento výraz zjednodušit: $h$

f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2))} ,

které lze rigorózně zdůvodnit pomocí vzorce konečného přírůstku . Obecně platí, že (viz binomické koeficienty ):

d^{n}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{n))}\sum _{m=0}^{n}(- 1)^{m}{n\vyberte m}f(x+(nm)h).

Formálně, odstraněním omezení, které je kladným číslem, je přirozené definovat: $n$

\mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{q}}}\součet _{0\leqslant m<\ infty }(-1)^{m}{q \vyberte m}f(x+(qm)h).

Toto je definice Grunwald-Letnikovova diferenciálního integrálu.

Další záznam

Definici lze také jednodušeji přepsat zavedením zápisu:

\Delta _{h}^{q}f(x)=\sum _{0\leqslant m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(qm) h).

Pak má definice tvar:

\mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta _{h}^{q}f(x)}{h^{q }}}.

Odkazy

Oldham, K. and Spanier, J. The Fractional Calculus - Vydavatel: Academic Press, 1974. - 234 s. — ISBN 0-12-52555-0-0 .