Důkaz, že všichni koně jsou jednobarevní

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 26. listopadu 2020; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Důkaz , že všichni koně jsou stejné barvy,  je matematický sofismus , chybný důkaz , že všichni koně jsou stejné barvy, vynalezený maďarským matematikem Poyou [1] . Důkaz má demonstrovat chyby , které vznikají při nesprávném použití metody matematické indukce .

Původní verze důkazu

Původní verze důkazu je obsažena v jednom ze cvičení ke kapitole VII "Matematická indukce" prvního dílu Poyovy "Matematiky a věrohodné uvažování". V původním důkazu nemluvíme o stejné barvě koní, ale o stejné barvě očí dívek:

17 . Je nějakých n čísel stejných ? Řekli byste "Ne". Můžeme se však pokusit dokázat opak matematickou indukcí. Lákavější je však doložit tvrzení: "jakýchkoli n dívek má stejnou barvu očí."
Pro n = 1 je výrok zjevně pravdivý (nebo „bezvýznamný“). Zbývá přejít od n k n + 1. Pro jistotu půjdu od 3 do 4 a obecný případ nechám na vás. Dovolte mi představit vám čtyři dívky: Annu, Bellu, Veru a Galinu, nebo zkráceně A , B , C a D. Předpokládá se ( n = 3), že oči dívek A , B a C mají stejnou barvu. Stejně tak podle předpokladu mají oči dívek B , C a D stejnou barvu ( n = 3). Oči všech čtyř dívek A , B , C a D proto musí mít stejnou barvu. Pro úplnou přehlednost se můžete podívat na schéma

|-------| A , B , C a D. _ |--------|

To dokazuje tvrzení pro n + 1 = 4 a přejít například od 4 do 5 není samozřejmě o nic složitější.

Vysvětlete paradox. Můžete zkusit experimentální přístup, podívat se do očí pár dívkám.

— Poya D. Matematika a věrohodné uvažování. — 2. vyd., opraveno. — M.: Nauka, 1975. — C. 140.

"Důkaz"

Tvrzení k prokázání: Všichni koně jsou stejné barvy . Udělejme důkaz indukcí .

Základ indukce : Jeden kůň, zjevně stejné (stejné) barvy.

Krok indukce : Nechť je dokázáno, že všech K koní je vždy stejné barvy. Uvažujme K + 1 některé koně. Vezmeme jednoho koně. Zbývajících K koní má podle indukční hypotézy stejnou barvu. Vraťme odstraněného koně a odstraňte nějakého jiného. Zbývajících K koní bude opět stejné barvy. Takže všichni K + 1 koně jsou stejné barvy.

Z toho vyplývá, že všichni koně jsou stejné barvy. Tvrzení bylo prokázáno.

Chyba v důkazu

Zde se chyba vyskytuje již v základu: univerzální kvantifikátor („vše“) ​​je nahrazen existenčním kvantifikátorem („existuje“). Jinými slovy , rozpor vzniká, protože induktivní krok platí pouze pro . Pro , výsledné sady zbývajících koní se nebudou protínat a nelze tvrdit, že barvy všech koní jsou stejné.

Poznámky

1. ↑ Polia George (1954). Matematika a věrohodné uvažování. Svazek 1: Indukce a analogie v matematice. — Princeton, New Jersey: Princeton University Press. — str. 120. Ruský překlad: Poya D. Matematika a věrohodné uvažování. — 2. vyd., opraveno. — M.: Nauka, 1975. — C. 140.