Schurův doplněk

Schurův doplněk je nějaká čtvercová matice získaná rozdělením čtvercové matice na čtyři části.

Definice

Představme si čtvercovou matici ve formě bloku: $A$

A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}

,

kde jsou matice dimenzí , resp. ${\displaystyle A_{11},A_{12},A_{21},A_{22))$ $n\krát n,n\krát m,m\krát n,m\krát m$

Matice se v matici nazývá Schurův doplněk matice [1] . ${\displaystyle \left(A/A_{11}\right)=A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12))$ $A_{11}$ $A$

Vlastnosti

pomocí Schurova doplňku lze vypočítat determinant matice . Pokud , pak ; $|A|$ $|A_{11}|\neq 0$ $|A|=|A_{11}|\cdot |A/A_{11}|$
Schurův doplněk se používá k redukci algoritmického problému inverze matic na problém násobení matic , pro který existuje mnoho specializovaných rychlých algoritmů. [2]

Literatura

Prasolov VV Úlohy a věty lineární algebry. — M .: Nauka, 1996. — 304 s.

A. Aho, J. Hopcroft, J. Ullman. Konstrukce a analýza výpočetních algoritmů . — M .: Mir, 1979. — 536 s. Archivováno 13. ledna 2019 na Wayback Machine

Poznámky

↑ Problémy a věty lineární algebry, 1996 , str. třicet.
↑ Konstrukce a analýza výpočetních algoritmů, 1979 , str. 262-263, Lemmata 6.5, 6.6, Věta 6.2.