Problém se stěhováním pohovky

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. září 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Problém pohybu na gauči formuloval kanadský matematik Moser v roce 1966

Prohlášení o problému

Problém je redukován na dvourozměrnou idealizaci každodenního problému stěhování nábytku. Ve dvourozměrném prostoru určete tuhé těleso o největší ploše A , které se může pohybovat v "chodbě" ve tvaru L tvořené "tunely" o šířce jednotky měření, sbíhajícími se v pravém úhlu. Výsledná hodnota A se obvykle nazývá divanová konstanta (v alternativních formulacích stejného problému je tento objekt idealizací stolu nebo člunu nebo lodi v kanálu ve tvaru L).

Hledání řešení

Protože se kolem rohu "chodby" snadno nakreslí půlkruh s jednotkovým poloměrem, spodní mez pro konstantu divanu je . Jednoduchá horní hranice $\pi /2\cca 1{,}570796327$ [ jak? ] také ukazuje, že konstanta pohovky nepřesahuje [1] [2] . $2{\sqrt {2}}\cca 2{,}828427124$

John Hammersley výrazně zvýšil odhad zespodu napostavu připomínající telefonní sluchátko (viz obr.), sestávající ze dvou čtvrtkruhů o jednotkovém poloměru na obou stranách obdélníkus odstraněným půlkruhem o poloměru [3] [4 ] [5] . $\pi /2+2/\pi \approx 2{,}207416099$ $1\times 4/\pi$ $2/\pi$

V roce 1992 Joseph Gerver dále zlepšil spodní hranici pro konstantu divanu na , poté byla tato hranice vylepšena na . Jeho velikost je omezena osmnácti oblouky analytických křivek [6] [7] . $2{,}219531669$ $2{,}2195$

V červnu 2017 Yoav Kallus a Dan Romic zlepšili horní hranici konstanty pohovky na . [osm] $2{,}37$

Určení přesné hodnoty konstanty pohovky je otevřený problém .

Numerická optimalizace

Numerická optimalizace umožňuje určit divanové konstanty pro různé standardní křivky.

Pohovka Hammersley používá vnější kruhy o poloměru jednotky, ale pokud se toto omezení odstraní, konstantu pohovky lze zvýšit na ~2,21302924761374, zatímco vnější čtvrtkruhy budou mít poloměr ~0,91363796343492 a celková délka bude ~3,21033247,6468888. Takové pohovce říkáme generalizovaná pohovka Hammersley.

Rozdělením vnějšího kruhu na dva kruhy s bodem dotyku na tečně 45 stupňů můžete získat konstantu pohovky ~2,21918785. Poloměr kruhu na základně je R1~1,16134066 a jeho střed je posunut dolů o B~0,01740046. Poloměr horního kruhu je R2~0,71499114 a délka pohovky je L~3,22797195. Pokud dodatečně optimalizujeme s přihlédnutím k úhlu sklonu tečny, v bodě dotyku vnějších kruhů, pak můžeme dostat konstantu pohovky ~2,219237814, zatímco R1~1,19650, B~0,02777, R2~0,72655, tečnu při 39,86407 stupních a L~3,22848.

Poznámky

↑ Neal R. Wagner. The Sofa Problem (neopr.) // The American Mathematical Monthly . - 1976. - T. 83 . - S. 188-189 . - doi : 10.2307/2977022 .
↑ J. Stewart , Another Fine Math You've Got Me Into , Courier Dover Publications, 2004.
↑ HT Croft, KJ Falconer, RK Guy. Nevyřešené úlohy z geometrie (neurčité) . - Springer, 1994. - S. 198. - ISBN 9780387975061 .
↑ Problém stěhování pohovky v Mathsoftu (obsahuje Gerwerův diagram pohovky)
↑ Forum Gambler.ru - Předmět: Corridor, G Archivováno 14. března 2012 na Wayback Machine (obsahuje schéma pohovky Gerver)
↑ Joseph L. Gerver. O stěhování pohovky za rohem (neopr.) // Geometriae Dedicata . - 1992. - T. 42 , č. 3 . - S. 267-283 . - doi : 10.1007/BF02414066 .
↑ Weisstein, Eric W. Problém stěhování pohovek ve Wolfram MathWorld .
↑ Yoav Kallus, Dan Romik. Vylepšené horní hranice v problému pohyblivé pohovky // arXiv:1706.06630 [matematika]. — 21. 6. 2017. Archivováno z originálu 21. srpna 2017.