Problém špinavých dětí , také známý jako problém nevěrné manželky , problém modrookého ostrovana nebo paradox modrookého ostrovana , je klasickou ilustrací myšlenky obecného povědomí . Patří do oblasti dynamické epistemické logiky , řešené pomocí matematické indukce .
Děti si hrály venku a otec je zavolal do domu. Děti se shromáždily kolem svého otce. Jak si lze snadno představit, někteří z nich se při hraní ušpinili; zejména někteří mají zablácený obličej. Každé dítě vidí špínu pouze na tvářích ostatních dětí, nikoli na jejich vlastních. To vše zná každý a děti jsou samozřejmě ideální logici. Otec říká: "Alespoň jeden z vás je celý od bahna." A pak: "Ti z vás, kteří vědí, že jste špinaví, vykročte." Pokud nikdo neudělá krok vpřed, otec opakuje svůj příkaz stále dokola. Při určité iteraci udělají všechny špinavé děti krok vpřed. Kdy přesně se to stane, když m dětí z jejich celkového počtu k je špinavých a proč?
Původní text (anglicky)[ zobrazitskrýt] Skupina dětí si hrála venku a otec je zavolal zpět do domu. Děti se kolem něj shromáždí. Jak si lze představit, někteří z nich se od hry ušpinili. Zejména: mohou mít na obličeji bláto. Děti vidí pouze to, zda jsou ostatní děti zablácené, a ne, zda mají nějaké bláto na jejich vlastní tváři. To vše je všeobecně známo a děti jsou zjevně dokonalí logici. Otec teď říká: "Alespoň jeden z vás je zablácený." A pak: "Vykročí ti, kteří vědí, zda jsou zablácení?" Pokud nikdo nepokročí, otec stále opakuje žádost. V určité fázi všechny zablácené děti vykročí vpřed. Kdy se to stane, když je m z k dětí celkem zablácených a proč? — van Ditmarsch & Kooi, 2015Při analýze toho, co se děje, se používá metoda matematické indukce [1] .
Tato úvaha ukazuje, jak může m dětí s jistotou vědět, že jsou špinavé m-tou iterací procesu. Důkladný důkaz toho, že je žádná jiná úvaha nedovede k tomuto závěru dříve, je však spíše netriviální [2] .
Vezměme si příklad m = 2 špinavé děti, Alice a Bob [3] [4] .
Pro m = 3 děti - Alice, Bob, Caroline [4] :
Při řešení problému a modelování uvažování dětí hraje klíčovou roli jejich znalost toho, co vědí ostatní účastníci procesu, a zejména to, že když na další příkaz otce nikdo nevezme krok vpřed, to se rovná veřejnému oznámení (podobně jako prohlášení otce o tom, že je minimálně jedno špinavé dítě), že do této chvíle žádné z dětí nevědělo, zda je špinavé nebo ne. Je také důležité, aby děti nelhaly, uvažovaly naprosto logicky a tyto skutečnosti jsou také každému známé, to znamená, že je lze použít při uvažování, včetně modelování uvažování některých účastníků ostatními. Úvaha se v podstatě opírá o to, že každý z účastníků ví, že každý ví, že každý ví... obsah otcova úvodního prohlášení a výsledky jeho příkazů udělat krok vpřed, přičemž tento řetězec může být poměrně dlouhý. Je tomu tak, protože tato fakta jsou všeobecně známá – řetězce „každý ví, že každý ví, že...“ jsou pravdivé, libovolně dlouhé. Koncept obecných znalostí je důležitý v epistemické logice a problém špinavých dětí je klasickým příkladem, který ilustruje obsah tohoto konceptu a důležitost dalších ustanovení použitých při řešení [5] .
Podobný problém, který ovšem nezahrnoval synchronizaci, tedy přesně definované okamžiky pro výměnu informací (např. příkazy od otce, aby se přihlásil), byl nalezen v komentářích k německému překladu slavného překladu z roku 1832 satirický román Gargantua a Pantagruel . Tento úkol (jak ve verzi bez synchronizace, tak ve verzi s ní) se stal známým v polovině 20. století spolu s dalšími úkoly, které implikovaly analýzu uvědomění a uvažování některých účastníků ostatními [1] .
Existuje mnoho možností pro podmínky problému, logicky ekvivalentní, ale liší se v doprovodu [6] : například místo dětí umazaných v blátě se mohou ve stavu objevit nevěrné manželky, z nichž každá je známá jako nevěrná všem kromě jejího vlastního manžela - v tomto případě je první den veřejně oznámeno, že ve městě jsou nevěrné manželky a manžel musí svou ženu potrestat ve stejnou noc, kdy si uvědomí, že je nevěrná (nebo naopak, manželky trestají nevěrné manžely) [7] .
V jiné verzi se objevují modroocí ostrované [6] - náboženství zavazuje každého ostrovana k sebevraždě o další půlnoci, pokud pozná barvu svých očí, a výchozím bodem úkolu je replika návštěvníka ostrova, z čehož vyplývá, že na ostrově je alespoň jeden modrooký obyvatel . V tomto prostředí je problém formulován také jako paradox : uvažování indukcí ukazuje, že pokud je na ostrově m modrookých ostrovanů, pak o m -té půlnoci všichni spáchají sebevraždu, i když je m velké - ale proč by se koneckonců zdálo, že návštěvník neřekl ostrovanům nic nového, protože každý den vidí spoustu modrookých domorodců? Jak vyplývá z výše uvedeného, řešením paradoxu je, že před veřejně vyslovenou poznámkou návštěvníka řetězec „každý ostrovan ví, že někdo ví, že někdo ví ... že na ostrově jsou modroocí lidé“ dosáhnout délky dostatečné k odvození informace o barvě vlastních očí [4] [2] . Při formulaci problému v této podobě je zvláště důležité pečlivě sestavit systém pravidel pro domorodce, aby neměli možnost je obejít a vyhnout se smutnému výsledku [8] .