Invariantní derivace s ohledem na čas

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. října 2021; kontroly vyžadují 6 úprav .

Invariantní časová derivace je časová derivace inerciálního rámce . V inerciální soustavě samotné je invariantní derivace času jednoduše obvyklá derivace času: . V neinerciální soustavě se invariantní časová derivace skládá ze součtu obvyklé časové derivace a dalších členů souvisejících s rychlostí neinerciální soustavy vzhledem k inerciální soustavě. Rychlostní pole může být nehomogenní a obecně závisí na čase . Takže například v neinerciální soustavě spojené s nerovnoměrně rotujícím kolem je rychlostní pole nerovnoměrné v prostoru a čase. Vzhledem k tomu, že pole rychlostí je relativní rychlostí pohybu souřadnicových systémů, které nejsou hmotnými objekty, může tato rychlost svou velikostí přesáhnout rychlost světla a být dokonce nekonečná. V tomto případě samozřejmě nejde o žádný rozpor se speciální teorií relativity (SRT). Například rychlostní pole neinerciálního systému spojeného s rotujícím kolem překračuje rychlost světla v dostatečně velké vzdálenosti od středu otáčení a má tendenci k nekonečnu s další vzdáleností od středu. ${\frac {\částečné }{\částečné t))$ ${\frac {\částečné }{\částečné t))$ $V^i$ $V^{i}(x)$ $V^{i}(x,t)$ $V^{i}(x,t)$

Označujeme souřadnicemi v inerciální soustavě a souřadnicemi v neinerciální soustavě. Pak rychlost pohybu neinerciální soustavy vzhledem k inerciální je ${\bar {x}}$ $x({\bar {x)),t)$

$V^{i}(x,t)={\frac {\částečné x^{i}({\bar {x)),t)}{\částečné t))$

Invariantní derivace času skaláru v neinerciální soustavě je: $F(x,t)$

$D_{t}F(x,t)={\frac {\partial F}{\partial t))+{\frac {\partial F}{\partial x^{i))}{\frac {\partial x^{i}}{\partial t}}={\frac {\partial F}{\partial t}}+V^{i}(x,t){\frac {\partial F}{ \částečné x^{i}}}$ .

Invariantní časová derivace tenzorů má další členy spojené s transformací jejich složek při přesunu z jednoho souřadnicového systému do druhého . Takže například pro vektory a covektory máme: ${\bar {x}}\to x({\bar {x}},t)$

$A^{i}={\frac {\částečné x^{i}}{\částečné {\bar {x}}^{j}}}{\bar {A}}^{j}$ ;

$A_{i}={\frac {\částečný {\bar {x}}^{j}}{\částečný x^{i}}}{\bar {A}}_{j}$ .

Tudíž,

${\displaystyle D_{t}A^{i}={\frac {\částečné A^{i}}{\částečné t}}+V^{j}{\frac {\částečné A^{i}}{ \částečné x^{j))}-A^{j}{\frac {\částečné V^{i)){\částečné x^{j))))$ ;

$D_{t}A_{i}={\frac {\částečné A_{i}}{\částečné t}}+V^{j}{\frac {\částečné A_{i}}{\částečné x ^{j}}}+A_{j}{\frac {\částečné V^{j}}{\částečné x^{i}}}$ .

Invariantní časové derivace tenzorů vyšších řádů se počítají podobně.

Důležitou vlastností invariantní časové derivace je, že všechny derivace s ohledem na prostorové souřadnice na pravé straně výše uvedených výrazů mohou být nahrazeny kovariantními derivacemi konzistentními s prostorovou metrikou , tzn. ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{i))))$ ${\displaystyle dl^{2}=\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j))$

$D_{t}A^{i}=\částečné _{t}A^{i}+V^{j}A_{;j}^{i}-A^{j}V_{;j} ^{i}$ ,

${\displaystyle D_{t}A_{i}=\částečné _{t}A_{i}+V^{j}A_{i;j}+A_{j}V_{;i}^{j))$ ,

zde se podmínky s Christoffelovými spojeními navzájem ruší.

Výše uvažované "přírůstky" k obvyklým časovým derivacím jsou Lie - variace (nebo jinými slovy Lieovy derivace ) tenzorových polí podél vektorového pole , které studoval vynikající norský matematik Sophus Lie (1842-1899). $V^i$

Známá odstředivá a Coriolisova zrychlení, která se objevují v rotujícím neinerciálním systému, jsou další členy v invariantní časové derivaci vektoru rychlosti pohybujícího se hmotného bodu.

Literatura

D. E. Burlankov, Dynamika prostoru. Monografie 2005 179 stran.