Heronův iterační vzorec

Heronův iterační vzorec má tvar

x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}\right)\

kde a je pevné kladné číslo a a je libovolné kladné číslo. $x_{1}$

Iterační vzorec definuje klesající (začínající od 2. prvku) posloupnost, která při jakékoli volbě rychle konverguje k hodnotě ( druhá odmocnina z ), tzn. $x_{1}$ ${\sqrt {a}}$

\lim _{{n\rightarrow \infty }}x_{n}={\sqrt {a}}

Tento vzorec lze získat aplikací Newtonovy metody na řešení rovnice . $ax^{2}=0$

Příklad

Zkusme spočítat druhou odmocninu z 25 pomocí zaokrouhlení ve výpočtech. Nechť náš první odhad hodnoty je hodnota 3. ${\sqrt {25}}$

n	$x_{n}$	$x_{{n+1}}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}\right)\$	Přibližná hodnota $x_{{n+1}}$
jeden	3	${\frac {1}{2}}~\left(3+{\frac {25}{3}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(3+8,33)={\frac {1}{2}}\cdot 11,33\cca 5,67$
2	5,67	${\frac {1}{2}}~\left(5,67+{\frac {25}{5,67}}\vpravo)\$	${\frac {1}{2}}~(5,67+4,41)={\frac {1}{2}}\cdot 10,08=5,04$
3	5.04	${\frac {1}{2}}~\left(5.04+{\frac {25}{5.04}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(5,04+4,96)={\frac {1}{2}}\cdot 10=5$
čtyři	5	${\frac {1}{2}}~\left(5+{\frac {25}{5}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(5+5)={\frac {1}{2}}\cdot 10=5$

Geometrická interpretace

Tento vzorec má jednoduchý geometrický výklad. Uvažujme obdélník s plochou a a stranou x 1 . Provedeme iterativní kvadraturu. Konkrétně uděláme jednu stranu nového obdélníku rovnou aritmetickému průměru obou stran předchozího kroku. A vezmeme druhou stranu tak, že plocha nového obdélníku je opět rovna a . V dalších krocích zopakujeme stejný postup.

Heronův iterační vzorec

Příklad

Geometrická interpretace

Literatura