Kvazanalytická funkce

Kvazianalytické funkce v matematické analýze jsou třídou funkcí, které lze, volně řečeno, kompletně rekonstruovat z jejich hodnot na malé ploše (například na hranici oblasti). Tato vlastnost značně usnadňuje řešení diferenciálních rovnic a studium dalších problémů analýzy. Protože tato vlastnost platí pro analytické funkce (viz komplexní analýza ), pak třída kvazianalytických funkcí obsahuje třídu běžných analytických funkcí a lze ji považovat za její rozšíření [1] .

Definice

Funkce jedné proměnné

Jeden z mnoha definujících rysů analytické funkce : nechť je funkce nekonečně diferencovatelná ve všech bodech segmentu a nechť existuje číslo (v závislosti na funkci), aby nerovnost platila pro všechny body: $f(x)$ $[a,b]$ $A$ $x\in[a,b]$

|f^{(n)}(x)|\leqslant A^{n}n!

(jeden)

Pak je funkce analytická ( platí i obrácená věta ) [2] . $f(x)$

Jacques Hadamard navrhl v roce 1912 zobecnit výše uvedenou nerovnost nahrazením sekvence posloupností obecné formy kladných reálných čísel . Definoval na intervalu [ a , b ] třídu funkcí C M ([ a , b ]) takto: $n!$ $M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty }$

Jakákoli funkce z této třídy je nekonečně diferencovatelná ( f ∈ C ∞ ([ a , b ])) a ve všech bodech x ∈ [ a , b ] a pro všechny je splněna následující podmínka: $F$ $k\geqslant 0$

\left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leqslant A^{k}k!M_{k}

(2)

kde A je nějaká konstanta (v závislosti na funkci).

Vezmeme-li posloupnost M k =1, pak podle toho, co bylo řečeno na začátku oddílu, dostaneme přesně třídu obyčejných reálných analytických funkcí na intervalu [ a , b ].

Třída C M ([ a , b ]) se nazývá kvazianalytická , pokud je pro libovolnou funkci f ∈ C M ([ a , b ]) splněna podmínka jednoznačnosti : jestliže v určitém bodě x ∈ [ a , b ] pro všechny k , pak se f shodně rovná nule. ${\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)=0$

Prvky kvazianalytické třídy se nazývají kvazianalytické funkce . Výše uvedená podmínka znamená, že dvě funkce, které se v určitém bodě shodují spolu se všemi jejich derivacemi, se všude shodují. Jinými slovy, hodnoty funkce v libovolně malé oblasti zcela určují všechny její hodnoty.

Funkce více proměnných

Pro funkci a pro množinu indexů označujeme: $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle j=(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n})\in \mathbb {N} ^{n))$

{\displaystyle |j|=j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{n))

D^{j}={\frac {\částečné ^{j}}{\částečné x_{1}^{j_{1}}\částečné x_{2}^{j_{2}}\ldots \ částečné x_{n}^{j_{n}}}}}

j!=j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!

x^{j}=x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\ldots x_{n}^{j_{n}}.

Pak se nazývá kvazi -analytický v otevřené doméně , pokud pro každý kompakt existuje konstanta taková, že: $F$ $U\subset \mathbb {R} ^{n},$ $K\subset U$ $A$

\left|D^{j}f(x)\right|\leqslant A^{|j|+1}j!M_{|j|}

pro všechny indexy ze sady a ve všech bodech . $j\in \mathbb {N} ^{n}$ $x\in K$

Třída kvazianalytických funkcí proměnných vzhledem k posloupnosti na množině může být označena , ačkoli ve zdrojích existují i jiné zápisy. $n$ $M$ $U$ $C_{n}^{M}(U)$

Kvazianalytické třídy pro logaritmicky konvexní posloupnosti

Předpokládejme, že ve výše uvedené definici je a posloupnost neklesající. Tato sekvence je považována za logaritmicky konvexní , pokud je splněna podmínka: $M_{1}=1$ $M_{k}$

Posloupnost se zvyšuje.

{M_{k+1} \over M_{k}}

Pokud je sekvence logaritmicky konvexní, pak: $M_{k}$

{\displaystyle (M_{k})^{1/k))

také zvyšuje.

M_{r}M_{s}\leqslant M_{r+s}

pro všechny .

{\displaystyle (r,s)\in \mathbb {N} ^{2))

Pro logaritmicky konvexní je kvazianalytická třída kruh . Zejména je uzavřen pod násobením a složením . To druhé znamená: $M$ ${\displaystyle C_{n}^{M))$

Pokud a , tak .

{\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\ldots f_{p})\in (C_{n}^{M})^{p))

{\displaystyle g\in C_{p}^{M))

g\circ f\in C_{n}^{M}

Denjoy-Carlemanova věta

Denjoy-Carlemanův teorém formuloval a částečně vyřešil Arnaud Denjoy ( Denjoy (1921 )) a zcela dokázal Thorsten Carleman ( Carleman (1926 )). Tato věta poskytuje kritérium pro rozhodnutí, podle kterých posloupností M tvoří funkce C M ([ a , b ]) kvazianalytickou třídu.

Podle věty jsou následující tvrzení ekvivalentní:

CM ([ a , b ]) je kvazianalytická třída .
$\sum 1/L_{j}=\infty ,$ kde . $L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})$
$\sum _{j}(jM_{j}^{*})^{-1/j}=\infty ,$ kde M j * je největší logaritmicky konvexní posloupnost ohraničená výše M j .
$\sum _{j}{\frac {M_{j-1}^{*}}{(j+1)M_{j}^{*}}}=\infty .$

Abychom dokázali, že výroky 3, 4 jsou ekvivalentní druhému, použije se Carlemanova nerovnost .

Příklad : Denjoy (1921 ) [3] poukázal na to, že pokud je zadána jedna ze sekvencí $M_{n}$

1,\,{(\ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n},\, {(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n}\,{(\ln \ln \ln n)}^{n},\tečky ,

pak je odpovídající třída kvazianalytická. První posloupnost (jednotek) dává obvyklé analytické funkce.

Další vlastnosti

Pro logaritmicky konvexní posloupnost platí následující vlastnosti odpovídající třídy funkcí. $M$

$C^{M}$ se shoduje s třídou analytických funkcí právě tehdy, když . $\sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty$
Jestliže je další logaritmicky konvexní posloupnost, pro kterou (zde je nějaká konstanta), pak . $N$ ${\displaystyle M_{j}\leqslant C^{j}N_{j))$ $C$ $C^{M}\subset C^{N}$
$C^{M}$ stabilní s ohledem na diferenciaci tehdy a jen tehdy, když . $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$
Pro jakoukoli nekonečně diferencovatelnou funkci lze najít kvazianalytické kruhy a prvky takové, že . $F$ $C^{M}$ $C^{N}$ $g\in C^{M},h\in C^{N}$ $f=g+h$

Dělení podle Weierstrasse

Definice . Říká se, že funkce má pravidelné pořadí s ohledem na if a . $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $d$ $x_{n}$ ${\displaystyle g(0,x_{n})=h(x_{n})x_{n}^{d))$ $h(0)\neq 0$

Dovolit být pravidelné pořadí funkce s ohledem na . Říká se, že okruh reálných nebo komplexních funkcí proměnných splňuje Weierstrassovo dělení s ohledem na to, zda pro každou existují také takové, že: $G$ $d$ $x_{n}$ $A_{n}$ $n$ $G$ $f\in A_{n}$ $q\in A$ ${\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1))$

f=gq+h

, kde .

h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}

Příklad : Okruh analytických funkcí i okruh formálních mocninných řad splňují Weierstrassovu vlastnost dělení. Pokud je však logaritmicky konvexní a neshoduje se s třídou analytických funkcí, pak nesplňuje vlastnost Weierstrassova dělení vzhledem k . $M$ $C^{M}$ $C^{M}$ ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}^{2))$

Historie

Klíčovou otázkou tohoto tématu je schopnost analytické funkce jedinečně obnovit svůj „globální vzhled“ z hodnot samotné funkce a jejích derivátů v libovolném pravidelném bodě [4] . Émile Borel byl první, kdo zjistil, že tato vlastnost platí nejen pro analytické funkce.

V roce 1912 Jacques Hadamard formuloval otázku: jaká by měla být posloupnost pro výše uvedenou „ podmínku jedinečnosti “, aby platila pro jakýkoli pár funkcí z odpovídající třídy. Arnaud Denjoy v roce 1921 poskytl dostatečné podmínky pro kvazianalyticitu a řadu příkladů kvazianalytických tříd (viz Denjoy (1921 )). Úplné řešení problému poskytl o pět let později Thorsten Carleman (viz Carleman (1926 )), který vytvořil nezbytné a dostatečné podmínky pro kvazianalytiku [1] . $M_{n},$

Později S. N. Bernshtein a S. Mandelbroit zobecnili koncept kvazianalyticity na třídy nediferencovatelných a dokonce nespojitých funkcí. Nejjednodušším příkladem je množina řešení lineární diferenciální rovnice se spojitými koeficienty; funkce obsažené v tomto řešení obecně nemají nekonečný počet derivací [5] ..

Poznámky

↑ 1 2 Matematická encyklopedie, 1979 , str. 798.
↑ Mandelbroit, 1937 , str. 10-12.
↑ Leontiev, 2001 .
↑ Mandelbroit, 1937 , str. 9-11.
↑ Gorny, 1938 , str. 171.

Literatura

Gorny A. Kvazianalytické funkce // Pokroky v matematických vědách . - M. , 1938. - č. 5 . — S. 171–186 .
Leontiev A.F. Quasiananalytická třída funkcí // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M .: Sovětská encyklopedie , 1979. - T. 2. - S. 798-800.
Mandelbroit S. Kvazianalytické třídy funkcí. - M. - L .: ONTI NKTP, 1937.
Mandelbroit S. Sousední řady, regularizace sekvencí. Aplikace, přel. z francouzštiny, Moskva: Zahraniční literatura, 1955.
Carleman, T. (1926), Les fonctions quasi-analytiques , Gauthier-Villars (fr.)
Denjoy, A. (1921), Sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle, ČR Acad. sci. Paris T. 173: 1329–1331
Hörmander, Lars (1990), Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-00662-1
Leont'ev, A.F. Kvazianalytická třída // Hazewinkel, Michiel . Encyklopedie matematiky. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .

Odkazy

Cohen, Paul J. (1968), Jednoduchý důkaz Denjoy-Carlemanovy věty , The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) . — T. 75 (1): 26–31, ISSN 0002-9890 , DOI 10.2307/2315100