Kink (matematika)

Zlom je řešením rovnic pole v některých rozměrových teoriích pole , které interpoluje mezi dvěma vakuy , jak se prostorová souřadnice mění z na . Kink je nejjednodušší topologický soliton . $1+1$ $-\infty$ $+\infty$

Kink v modelu jednoho skutečného skalárního pole

Uvažujme [1] o teorii jednoho reálného skalárního pole v dimenzionálním prostoru s akcí $1+1$

S=\int d^{2}x\left[{\frac {1}{2}}\phi _{,\mu }\phi ^{,\mu }-V(\phi )\right ],

kde je potenciál pole, , a $\phi$ $\mu=0,1$

V(\phi )=-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\phi ^{2}+{\frac {\lambda }{4}}\phi ^{4}+ {\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}={\frac {\lambda }{4}}(\phi ^{2}-v^{2})^{2},~~ v={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda ))}.

Akce je při diskrétní transformaci invariantní ; tato symetrie je spontánně narušena, protože klasické vakuum jsou stejné . $\phi =-\phi$ $\phi ^{vac}=\pm v$

Z principu nejmenší akce se získá rovnice pole

\phi _{,\mu }^{~~\mu }+{\frac {\částečné V(\phi )}{\částečné \phi ))=0.

Budeme hledat statické, tedy časově nezávislé řešení rovnic pole. V tomto případě se rovnice pole sníží na

\phi ''-{\frac {\částečné V(\phi )}{\částečné \phi }}=0,

kde prvočíslo označuje derivaci vzhledem k prostorové souřadnici. Výsledná rovnice má následující řešení:

\phi =v\tanh(\pm {\sqrt {\frac {\lambda }{2}}}v(x-x_{0}))={\frac {\mu }{\sqrt {\ lambda ))}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2))}x)},

kde je integrační konstanta. Toto řešení je nejjednodušším statickým zlomem , který interpoluje mezi vakuem a když se prostorová souřadnice změní z na . Podepsané řešení se nazývá antikink . $x_{0}$ $-proti$ $+v$ $-\infty$ $+\infty$ $-$

Vlastnosti řešení

Velikost zlomu je řádově , tedy řádově Comptonovy vlnové délky elementárního buzení. Opravdu, hustota energie zlomu ${\displaystyle r_{k}=\mu ^{-1))$

\epsilon (x)={\frac {1}{2}}\phi '^{2}+V(\phi )={\frac {\lambda }{2}}v^{4}{ \frac {1}{\cosh ^{4}({\frac {\mu }{\sqrt {2))}(x-x_{0)))))

se výrazně liší od nuly pouze v regionu . ${\displaystyle |x-x_{0}|\lesssim r_{k))$

Statická energie kink je

\int _{-\infty }^{\infty }\epsilon (x)dx={\frac {2}{3}}mv^{2},

kde je hmotnost elementárního buzení. $m={\sqrt {2}}\mu$

Výsledné řešení není invariantní při prostorových translacích a Lorentzových transformacích. Tyto transformace však převádějí řešení rovnic pole na jiná řešení. Aplikací překladů a Lorentzovy transformace získáme následující rodinu nestatických řešení:

\phi ={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda ))}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2))}{\frac {(x-) x_{0})-ut}{\sqrt {1-u^{2)))))},

kde je rychlost pohybujícího se zlomu. $u$

Kink v modelu jednoho komplexního skalárního pole

Uvažujme [1] o teorii jednoho komplexního skalárního pole v dimenzionálním prostoru s Lagrangiánem $1+1$

\Lambda =\phi _{,\mu }{\bar {\phi }}^{,\mu }+\mu ^{2}\phi {\bar {\phi }}-{\frac { \lambda }{2}}(\phi {\bar {\phi }})^{2}.

Princip nejmenší akce vede k následujícím rovnicím pole:

\phi _{,\mu }^{~~\mu }=\mu ^{2}\phi -\lambda \phi ^{2}{\bar {\phi )),

{\bar {\phi }}_{,\mu }^{,\mu }=\mu ^{2}{\bar {\phi }}-\lambda {\bar {\phi }}^ {2}\phi .

Výsledné rovnice mají zalomené řešení z teorie reálného skalárního pole

\phi ={\bar {\phi }}={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2} }}X)}.

Kink v rovnici sinus-Gordon

Uvažujme [1] o teorii jednoho reálného skalárního pole v dimenzionálním prostoru s Lagrangianem $1+1$

\Lambda =\phi _{,\mu }\phi ^{,\mu }+m^{2}v^{2}[\cos {\frac {\phi }{v}}-1] .

Princip nejmenší akce vede k rovnici

\phi _{,\mu }^{~~\mu }+m^{2}v\sin {\frac {\phi }{v))=0,

který se redukuje substitucí do sinusové-Gordonovy rovnice $x\rightarrow mx,~~t\rightarrow mt,~~\phi \rightarrow {\frac {\phi }{v))$

\phi _{tt}-\phi _{xx}+\sin \phi =0,

který má následující konkrétní řešení [2] , představující zalomení pohybující se rychlostí , interpolující mezi vakuy a při změně z na : $proti$ $\phi _{0}=2\pi k,~~k\in \mathbb {Z}$ $\phi _{0}+2\pi$ $X$ $-\infty$ $+\infty$

\phi (x,t)=\phi _{0}+4\arctan \left\{\exp \left[\pm {\frac {x+vt}{\sqrt {v^{2}- 1}}}+\delta \vpravo]\vpravo\},

kde je libovolná konstanta. Znak odpovídá kink, znak k antikink. $\delta$ $+$ $-$

Poznámky

↑ 1 2 3 * Rubakov V.A. Pole klasického rozchodu. Bosonické teorie. - M .: KomKniga, 2005. - S. 133-143. — 296 s.
↑ * Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Příručka nelineárních rovnic matematické fyziky. - M. : FIZMATLIT, 2002. - S. 144. - 432 s.

Literatura

T. I. Belova , A. E. Kudryavtsev, Solitons a jejich interakce v klasické teorii pole
VA Gani, AE Kudryavtsev, MA Lizunova, Kink interakce v (1+1)-rozměrném φ 6 modelu, Phys. Rev. D 89, 125009 (2014) ; [https://web.archive.org/web/20161220140059/https://arxiv.org/abs/1402.5903 Archivováno 20. prosince 2016 na Wayback Machine arXiv:1402.5903 [hep-th]].
VA Gani, V. Lensky, MA Lizunova, Kink excitační spektra v (1+1)-rozměrném φ 8 modelu, JHEP 08 (2015) 147 ; [https://web.archive.org/web/20161220135634/https://arxiv.org/abs/1506.02313 Archivováno 20. prosince 2016 na Wayback Machine arXiv:1506.02313 [hep-th]].