Komplex Koszul

Koszulův komplex poprvé představil v matematice Jean-Louis Koszul , aby definoval cohomologickou teorii Lieových algeber . Následně se ukázalo, že jde o užitečnou obecnou konstrukci homologické algebry . Jeho homologie může být použita k určení, zda je sekvence prvků kruhu M - regulární , a v důsledku toho může být použita k prokázání základních hloubkových vlastností modulu nebo ideálního .

Definice

Nechť R je komutativní kruh a E volný R - modul konečné úrovně r . Značíme i -tou vnější mocninou E . Pak pro R - lineární mapování je Koszulův komplex spojený s s řetězovým komplexem R -modulů $\wedge ^{i}E$ $s:E\to R$

K_{\bullet }(s):0\to \wedge ^{r}E{\overset {d_{r}}{\to }}\wedge ^{r-1}E\to \cdots \ na \klín ^{1}E{\overset {d_{1}}{\to }}R\na 0,

ve kterém je diferenciál d k dán pravidlem: pro libovolné e i z E

{\displaystyle d_{k}(e_{1}\wedge \tečky \wedge e_{k})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{ i})e_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {e_{i))}\wedge \cdots \wedge e_{k))

Horní index znamená, že faktor je přeskočen. ${\widehat {\cdot ))$

Všimněte si toho a . Všimněte si také, že ; tento izomorfismus není kanonický (například volba tvaru objemu v diferenciální geometrii je příkladem takového izomorfismu). $\wedge ^{1}E=E$ $d_{1}=s$ $\wedge ^{r}E\simeq R$

Pokud E = R r (to znamená, že je zvolena báze), pak určení R -lineárního zobrazení s : R r → R je ekvivalentní určení konečné sekvence s 1 , …, s r prvků R (řádkový vektor) a v tomto případě označit $K_{\bullet }(s_{1},\tečky ,s_{r})=K_{\bullet }(s).$

Pokud M je konečně generovaný R -modul, dáme

K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M

i -tá homologie koszulského komplexu

\operatorname {H} _{i}(K_{\bullet }(s,M))=\operatorname {ker} (d_{i}\otimes 1_{M})/\operatorname {im} (d_ {i+1}\otimes 1_{M})

se nazývají i-tá koszulská homologie . Pokud například E = R r a je řádkovým vektorem prvků R , pak diferenciál Koszulova komplexu je $s=[s_{1}\cdots s_{r}]$ ${\displaystyle d_{1}\otimes 1_{M))$

s:M^{r}\to M,\,(m_{1},\tečky ,m_{r})\mapto s_{1}m_{1}+\tečky +s_{r}m_{ r}

\operatorname {H} _{0}(K_{\bullet }(s,M))=M/(s_{1},\tečky ,s_{r})M=R/(s_{1} ,\tečky ,s_{r})\otimes _{R}M.

Taky

\operatorname {H} _{r}(K_{\bullet }(s,M))=\{m\in M:s_{1}m=s_{2}m=\tečky =s_{r }m=0\}=\jméno operátora {Hom} _{R}(R/(s_{1},\tečky ,s_{r}),M).

Koszulovy komplexy malých rozměrů

Daný prvek x kruhu R a R - modul M , násobení x dává homomorfismus R - modulů

M\to M.

Když je viděn jako řetězový komplex (koncentrovaný v mocninách 1 a 0), označuje se . Jeho homologie je $K(x,M)$

H_{0}(K(x,M))=M/xM,H_{1}(K(x,M))=Ann_{M}(x)=\{m\in M,xm= 0\},

Koszulův komplex a jeho homologie tedy uchovávají základní informace o vlastnostech násobení x .

Řetězcový komplex K • ( x ) se nazývá Koszulův komplex prvku x kruhu R . Jestliže x 1 , x 2 , …, x n jsou prvky R , Koszulův komplex posloupnosti x 1 , x 2 , …, x n , obvykle označovaný K • ( x 1 , x 2 , …, x n ) , je tenzorovým součinem komplexů Koszul pro každé i . $K_{\bullet }(x_{1})\otimes K_{\bullet }(x_{2})\otimes \cdots \otimes K_{\bullet }(x_{n})$

Areál Koszul pro pár má podobu $(x,y)\in R^{2}$

0\to R{\xarrowarrow {\ d_{2}\ }}R^{2}{\xrightarrow {\ d_{1}\ }}R\to 0,

kde jsou matice a uvedeny jako $d_{1}$ $d_{2}$

d_{1}={\begin{bmatrix}x&y\\\end{bmatrix}}

d_{2}={\begin{bmatrix}-y\\x\\\end{bmatrix}}.

Pak cykly stupně 1 jsou přesně lineární vztahy mezi prvky x a y , zatímco hranice jsou triviální vztahy. První koszulská homologie H 1 ( K • ( x , y )), tedy popisuje vztahy modulo triviální vztahy.

V případě, že prvky x 1 , x 2 , …, x n tvoří pravidelnou sekvenci, všechna vyšší Koszulova homologie mizí.

Příklad

Jestliže k je pole, X 1 , X 2 , …, X d jsou neznámé a R je polynomický kruh k [ X 1 , X 2 , …, X d ], Koszulův komplex K • ( X i ) sekvence Xi je konkrétním příkladem volného rozlišení R - modulu k .

Literatura

David Eisenbud , komutativní algebra. S pohledem na algebraickou geometrii, Graduate Texts in Mathematics, sv. 150, Springer-Verlag, New York, 1995. ISBN 0-387-94268-8