Cheegerova konstanta

Cheegerova izoperimetrická konstanta kompaktní Riemannovy variety M je kladné reálné číslo h ( M ) definované v podmínkách minimální plochy hyperpovrchu , které rozděluje M na dvě neprotínající se části stejného objemu . V roce 1970 Jeff Cheeger dokázal nerovnost vztahující první netriviální vlastní hodnotu Laplaceova-Beltramiho operátoru na M k číslu h ( M ). Tento důkaz měl velký vliv na Riemannovu geometrii a přispěl k vytvoření podobného konceptu vteorie grafů .

Definice

Nechť M  je n - rozměrná uzavřená Riemannova varieta. Označme V ( A ) objem libovolné n - rozměrné podvariety A ; S ( E ) označujeme n − 1-rozměrný objem podvariety E (obvykle se v této souvislosti nazývá „plocha“) . Pak je izoperimetrická Cheegerova konstanta manifoldu M definována jako

kde infimum jsou převzaty všechny hladké n − 1-rozměrné podvariety E z M , které jej rozdělují na dvě disjunktní podvariety A a B . Izoperimetrická konstanta může být také definována pro nekompaktní Riemannovy variety konečného objemu.

Cheegerova nerovnost

Cheegerova konstanta h ( M ) a nejmenší kladné vlastní číslo Laplaceova operátoru souvisí následující základní nerovností dokázanou Cheegerem:

Tato nerovnost je optimální v následujícím smyslu: pro libovolné h > 0, přirozené číslo k a ε > 0 existuje dvourozměrná Riemannovská varieta M s izoperimetrickou konstantou h ( M ) = h a taková, že k - té vlastní číslo Laplaceův operátor je ve vzdálenosti nejvýše ε od ​​Cheegerovy hranice (Boozer, 1978).

Boozerova nerovnost

Peter Boozer našel výraz pro horní mez pomocí izoperimetrické konstanty h ( M ). Nechť M  je n - rozměrná uzavřená Riemannova varieta , jejíž Ricciho zakřivení je nahoře omezeno číslem −( n −1) a 2 , kde a ≥ 0.

Pak

Viz také

Odkazy