Desarguesova konfigurace je konfigurace deseti bodů a deseti čar, kde každá čára obsahuje tři body konfigurace a tři čáry procházejí libovolným bodem. Konfigurace je pojmenována po Gerardu Desarguesovi a úzce souvisí s Desarguesovou větou , která dokazuje existenci takových konfigurací.
Říká se, že dva trojúhelníky ABC a abc jsou ve středové perspektivě, pokud se přímky Aa , Bb a Cc protínají v jednom bodě (tzv. střed perspektivy). Jsou v osové perspektivě, pokud průsečíky přímek procházejících odpovídajícími stranami trojúhelníků X = AB • ab , Y = AC • ac a Z = BC • bc leží na stejné přímce na ose perspektivy. Desarguesova věta říká, že tyto dvě podmínky jsou ekvivalentní – pokud jsou dva trojúhelníky v centrální perspektivě, pak musí být v axiální perspektivě a naopak. V tomto případě deset bodů a deset čar těchto dvou perspektiv (šest vrcholů trojúhelníků, tři průsečíky na ose perspektivy a střed perspektivy, šest stran trojúhelníků, tři čáry procházející středem perspektivy a perspektivní osa) společně tvoří Desarguesovu konfiguraci.
Přestože konfiguraci lze zapustit do roviny, má velmi jednoduchou konstrukci v trojrozměrném prostoru - libovolných pět rovin, které jsou v obecné poloze v euklidovském prostoru , má deset průsečíků tří rovin a deset průsečíků dvou rovin a vytvořte Desarguesovu konfiguraci [1] . Tato konstrukce úzce souvisí s vlastností, že každá projektivní rovina , kterou lze vložit do projektivního prostoru, se řídí Desarguesovou větou. Takové trojrozměrné znázornění Desarguesovy konfigurace se také nazývá úplný pětistěn [1] .
Pětibuňkový nebo pětistěn (pravidelný simplex ve čtyřrozměrném prostoru) má pět vrcholů, deset hran, deset trojúhelníkových dvourozměrných ploch a pět čtyřstěnných ploch. Hrany a 2D plochy se protínají přesně stejným způsobem jako body s čarami v konfiguraci Desargues. Pokračujme hranami pětičlánku přímkami a každým trojúhelníkem do roviny. Uvažujme průsečík těchto přímek a rovin s trojrozměrnou nadrovinou, která tyto přímky a roviny neobsahuje a také s nimi není rovnoběžná. Každá přímka protíná nadrovinu v bodě a každá rovina protíná nadrovinu v přímce. Těchto deset bodů a čar tvoří Desarguesovu konfiguraci [1] .
Ačkoli body a čáry hrají v Desarguesově teorému různé role, Desarguesova konfigurace je symetričtější – kterýkoli z deseti bodů lze vybrat jako střed perspektivy a tato volba určuje, kterých šest bodů jsou vrcholy trojúhelníků a která přímka je osa perspektivy. Desarguesova konfigurace má skupinu symetrie řádu 120. Existuje tedy 120 různých způsobů permutace bodů a čar v konfiguraci, která zachovává výskyt bodu a přímky. Trojrozměrná reprezentace Desarguesovy konfigurace činí tyto symetrie explicitnějšími - pokud je konfigurace získána z pěti rovin v trojrozměrném prostoru ve společné konfiguraci, pak každá ze 120 různých permutací těchto pěti rovin odpovídá symetrii v Desargues konfigurace [1] .
Desarguesova konfigurace je autoduální, což znamená, že lze porovnat body první konfigurace s čarami v druhé konfiguraci a čáry první s body druhé tak, aby byly zachovány všechny výskyty [2 ] .
Leviho graf Desarguesovy konfigurace s jedním vrcholem pro každý bod a jedním vrcholem pro každou čáru v konfiguraci je známý jako Desarguesův graf . Vzhledem k symetriím a self-dualitě Desarguesovy konfigurace je Desarguesův graf symetrickým grafem .
Kempe pro tuto konfiguraci navrhl jiný graf, který má deset vrcholů odpovídajících úsečkám a hrany spojující dva vrcholy, pokud do konfigurace nepatří průsečík dvou přímek. Tento graf můžete interpretovat i jinak - vrcholy grafu odpovídají bodům Desarguesovy konfigurace a hrany v tomto případě odpovídají přímkám, pokud přímka procházející těmito body do konfigurace nepatří. Tato publikace je prvním známým zdrojem v matematické literatuře , který uvádí Petersenův graf , 12 let předtím , než Julius Petersen použil stejný graf jako protipříklad v problému barvení hran .
Jako projektivní konfigurace má Desarguesova konfigurace označení (10 3 10 3 ), což znamená, že každý z jejích 10 bodů je incidentní se třemi úsečkami a každý z jeho 10 čar je incidentní se 3 body. Jeho deset bodů lze jedinečným způsobem považovat za dva vzájemně vepsané pětiúhelníky nebo za desetiúhelník vepsaný do sebe [3] . Desarguesův graf , bipartitní symetrický kubický graf s 20 vrcholy , se nazývá tímto názvem, protože jej lze reprezentovat jako Leviho graf Desarguesovy konfigurace s vrcholem pro každý bod a pro každou přímku a hranou pro každý bod- linkový incident.
Existuje osm dalších (10 3 10 3 ) konfigurací (tj. množiny bodů a přímek v euklidovské rovině, ve kterých jakýkoli bod leží na třech přímkách a každá přímka obsahuje tři body), které nejsou izomorfní s ohledem na vztah výskytu konfigurace Desargues a jedna z těchto konfigurací je znázorněna na obrázku vpravo. Ve všech těchto konfiguracích jsou pro libovolný zvolený bod vždy tři další, které s ním neleží na stejné přímce, a tyto body neleží na stejné přímce. V Desarguesově konfiguraci leží tyto tři body vždy na stejné přímce. Pokud tedy zvolíme střed perspektivy, pak tyto tři body leží na ose perspektivy. V příkladu vpravo tvoří takové body trojúhelník. Stejně jako v případě Desarguesovy konfigurace mohou být další konfigurace reprezentovány jako dvojice vzájemně vepsaných pětiúhelníků.