Kritérium Liouville-Mordukhai-Boltovsky

Kritérium Liouville-Mordukhai-Boltovsky je kritériem pro existenci řešení ve zobecněných kvadraturách lineární homogenní obyčejné diferenciální rovnice libovolného řádu.

Historie

Speciální případ kritéria (pro lineární homogenní rovnice druhého řádu) dokázal v roce 1839 francouzský matematik Liouville . Při vývoji Liouvilleovy metody ruský matematik Mordukhai-Boltovskoy v roce 1910 dokázal jako kritérium pro rovnice libovolného řádu [1] :

Formulace

diferenciální rovnice n-tého řádu

y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+\cdots +p_{n}y=0

s koeficienty z funkčního diferenciálního pole , jehož všechny prvky jsou reprezentovatelné ve zobecněných kvadraturách, se řeší ve zobecněných kvadraturách právě tehdy, když jsou splněny obě následující podmínky: $p_{i}$ $K$

Nejprve má řešení formuláře

y_{1}(x)=\exp \int _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt,

kde je funkce ležící v nějakém algebraickém rozšíření pole , $F$ $K_1$ $K$

Za druhé, diferenciální rovnice (n−1)-tého řádu pro funkci s koeficienty z pole , získaná z původní rovnice procedurou redukce řádu, je řešena ve zobecněných kvadraturách nad polem . $z=y'-{\frac {y_{1}'}{y_{1))}y$ $K_1$ $K_1$

Poznámky

↑ A. G. Khovansky . Topologická Galoisova teorie: řešitelnost a neřešitelnost rovnic v konečném tvaru. — M. : Nakladatelství MTsNMO , 2008. (s. 54-55).

Literatura

A. G. Chovanskij. Topologická Galoisova teorie: řešitelnost a neřešitelnost rovnic v konečném tvaru. — M. : Nakladatelství MTsNMO , 2008. — 296 s.