Kritérium znaků

V matematické statistice se znaménkový test používá při testování nulové hypotézy o rovnosti mediánu k nějaké dané hodnotě (pro jeden vzorek) nebo o rovnosti mediánu rozdílu k nule (pro dva související vzorky ). [1] Toto je neparametrický test , což znamená, že nepoužívá žádná data o povaze distribuce a lze jej použít v široké škále situací, může však mít menší výkon než specializovanější testy.

Popis metody pro dva vzorky

Uvažujme dvě spojitě rozložené náhodné proměnné X a Y a nechť je splněna nulová hypotéza, to znamená, že medián jejich rozdílu je nulový. Pak . Jinými slovy, každá z náhodných proměnných je stejně pravděpodobně větší než ta druhá. $p=\mathbb {P} (X>Y)=0,5$

Zvažte pár spojených vzorků . Budeme předpokládat, že ve vzorku nejsou žádné prvky (jinak tyto prvky ze vzorku odstraníme). Sestavme statistiku w rovnou počtu prvků ve vzorku, pro které . Když je splněna nulová hypotéza, má tato hodnota binomické rozdělení : . $\{(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})\}$ ${\displaystyle x_{i}=y_{i))$ ${\displaystyle x_{i}>y_{i))$ $w\sim B(n,0,5)$

Pro uplatnění kritéria je nutné vypočítat „levý konec“ binomického rozdělení do w : . Podle kritéria na úrovni významnosti : ${\displaystyle b=2^{-n}\sum _{i=0}^{w}C_{n}^{i))$ $\alpha$

vs. dvoustranná alternativní hypotéza $p\neq 0,5$

if , pak je nulová hypotéza zamítnuta;

b\not \in \left[\alpha /2,\,1-\alpha /2\right]

proti alternativě $p<0,5$

if , pak je nulová hypotéza zamítnuta;

b<\alpha

proti alternativě $p>0,5$

if , pak je nulová hypotéza zamítnuta;

b>1-\alpha

Příklad problému

První vzorek jsou hodnoty některé charakteristiky stavu pacienta zaznamenané před léčbou. Druhý vzorek jsou hodnoty stejné charakteristiky stavu stejných pacientů zaznamenané po léčbě.

Pořadí prvků (v tomto případě pacientů) ve vzorcích a velikosti vzorků se musí shodovat. Takové vzorky se nazývají spojené .

Je třeba zjistit, zda je léčba účinná, tedy zda je významný rozdíl ve stavu pacientů před a po léčbě, nebo jsou rozdíly čistě náhodné.

Jsou uvedeny dva vzorky stejné délky . $x^{n}=(x_{1},\ldots ,x_{n}),\;x_{i}\in \mathbb {R} ;\;\;y^{n}=(y_ {1},\ldots ,y_{n}),\;y_{i}\in \mathbb {R}$

Další odhady:

oba vzorky jsou jednoduché ;
vzorky jsou spojeny, to znamená, že prvky odpovídají stejnému předmětu, ale měření byla provedena v různých okamžicích (například před a po zpracování). ${\displaystyle x_{i},\,y_{i))$

Nulová hypotéza . $H_{0}:\;\mathbb {P} \{x>y\}=1/2$

Pokud jsou ve vzorku případy , měly by být ze vzorku vyloučeny snížením počtu pozorování. Testovací statistika je počet w prvků ve vzorku, pro které . ${\displaystyle x_{i}=y_{i))$ ${\displaystyle x_{i}>y_{i))$

Odkazy

Kritérium znaků // MachineLearning.ru.

↑ Znakový test pro medián Archivováno 29. září 2017 na Wayback Machine // STAT 415 Intro Mathematical Statistics. Penn State University.