Singovo lemma

Singovo lemma je klíčovým tvrzením o stabilitě uzavřených geodetik v Riemannových varietách s pozitivním průřezovým zakřivením.

Lema je přímým důsledkem vzorce pro druhou variaci délek jednoparametrové rodiny křivek. Používal ji John Sing . [jeden]

Formulace

Dovolit být geodesic v Riemannian manifold s pozitivním průřezovým zakřivením a paralelním polem tečných vektorů na . Pak změna směru zkracuje jeho délku. $\gamma \colon [0;1]\to M$ $M$ $PROTI$ $\gamma$ $\gamma$ $PROTI$

Přesněji, pokud

\gamma _{\tau }(t)=\exp _{{\gamma (t)))(\tau \cdot V(t))

a označuje délku křivky potom a . $L(\tau )$ $\gamma _{\tau }$ $L'(0)=0$ $L''(0)<0$

Důsledky

Pokud uzavřená geodetika připouštějící paralelní vektorové pole není stabilní, to znamená, že její délka může být zmenšena o libovolně malou deformaci. Zejména,
- Sudorozměrně orientované Riemannovy rozvody s pozitivním sekčním zakřivením jsou jednoduše spojeny .
- Liché-dimenzionální Riemannovy manifoldy s pozitivním sekčním zakřivením jsou orientovány .
Singovo lemma bylo také použito Theodorem Frankelem [2] , aby dokázal, že pokud a jsou uzavřené geodetické podvariety v Riemannově varietě s pozitivním průřezovým zakřivením a potom a protínají se. $PROTI$ $W$ $M$ $\dim V+\dim W\geq \dim M$ $PROTI$ $W$

Poznámky

↑ Synge, John Lighton (1936), O konektivitě prostorů pozitivního zakřivení , Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series) sv. 7: 316–320 , DOI 10.1093/qmath/os-7.1.316
↑ Frankel, Theodore. Rozvody s pozitivním zakřivením (anglicky) // Pacific J. Math .. - 1961. - Sv. 11 . — S. 165–174 .