Lemma Sollertinského

Sollertinského lemma je vyjádřením projektivní geometrie .

Nechť je libovolný bod a je projektivní transformace. Pak množina průsečíků a , kde je přímka procházející , je kuželosečka procházející body a $P$ $F$ $l$ $f(l)$ $l$ $P$ $P$ $f(P).$

Důkaz

Nechť , , jsou přímky procházející bodem , , , jsou průsečíky a , a , a . Pět bodů , , , , definuje kuželosečku , navíc jedinou. Nechť druhý průsečík přímky procházející , s touto kuželosečkou, , a průsečík přímky s touto kuželosečkou, . Potom se následující dvojité poměry rovnají : . Tedy , , To jest přímky a protínají se na stejné kuželosečce. Na základě svévolnosti výběru přímky leží všechny takové průsečíky podle potřeby na ní. $A$ $b$ $C$ $P$ $A$ $B$ $C$ $A$ $f(a)$ $b$ $f(b)$ $C$ $f(c)$ $A$ $B$ $C$ $P$ $f(P)$ $d$ $P$ $D'$ $f(d)$ $D''$ $(A;B;C;D')=(a;b;c;d)=(f(a);f(b);f(c);f(d))=(A,B,C, D'')$ $D'=D''$ $d$ $f(d)$ $d$

Historie

Lema je pojmenováno po petrohradském matematikovi N. Sollertinském, který jej v roce 1896 použil k prokázání Sondovy věty . [1] Ve skutečnosti byl tento výrok znám již před Sollertinským; to je také přičítáno Jacobu Steinerovi .

Zvláštní případy a důsledky

Pokud je pohyb roviny zachován orientaci obrazců, pak výsledná kuželosečka bude kružnice. To je ekvivalentní teorému o vepsaném úhlu . $F$
Jestliže - pohyb roviny, změna orientace obrazců, pak výsledná kuželosečka bude rovnostranná hyperbola . Vyplývá to ze skutečnosti, že popsaná kuželosečka prochází ortocentrem trojúhelníku právě tehdy, když se jedná o rovnostrannou hyperbolu. $F$
Tvrzení duální k Sollertinského lemmatu je následující:

Nechť je libovolná čára a buď projektivní transformace. Pak všechny přímky , kde leží bod na , jsou tečné ke kuželosečce tečny k přímkám a $l$ $F$ $Pf(P)$ $P$ $l$ $l$ $f(l).$

Nechť jsou podobné rovnoramenné trojúhelníky , , , postaveny na stranách libovolného trojúhelníku k vnější (vnitřní) straně . Potom se přímky , , protínají v jednom bodě ležícím na opsané hyperbole procházející těžištěm a ortocentrem , Kiepertovou hyperbolou . $ABC$ $ABC'$ $ACB'$ $BCA'$ $AA'$ $BB'$ $CC'$
Pokud jsou dva trojúhelníky ortologní a středy ortologie se shodují, pak jsou slibné.
- Sollertinsky použil toto tvrzení v důkazu Sondovy věty.
- To také znamená, že pokud jsou dva trojúhelníky polární , pak jsou perspektivní.

Poznámky

↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vyd., doplněno .. - M . : MTSNMO , 2011. - 148 s. - ISBN 978-5-94057-732-4 .