Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty

Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty je obyčejná diferenciální rovnice ve tvaru:

\sum _{k=0}^{n}{a_{k}y^{(k)}(t)}=a_{n}y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\tečky +a_{1}y'+a_{0}y=f(t)

kde

$y=y(t)$ je požadovaná funkce,
$y^{(k)}=y^{(k)}(t)$ -jeho odvozenina -i , $k$
${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\tečky a_{n))$ - pevná čísla,
$f(t)$ je daná funkce (když máme lineární homogenní rovnici, jinak lineární nehomogenní rovnici). $f(t)\equiv 0$

Homogenní rovnice

Definice

Kořen násobnosti polynomu je takové číslo , že tento polynom je beze zbytku dělitelný , ale ne . $k$ ${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n))$ $C$ ${\displaystyle (xc)^{k))$ $(xc)^{k+1}$

Řád n rovnice

Homogenní rovnice:

a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\tečky +a_{1}y'+a_{0}y=0

integrovaný takto:

Dovolit být všechny různé kořeny charakteristické polynom , který je na levé straně charakteristické rovnice ${\displaystyle \lambda _{1},\tečky ,\lambda _{k))$

a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\tečky +a_{1}\lambda +a_{0}=0

násobnosti , respektive . ${\displaystyle m_{1},m_{2},\tečky ,m_{k))$ $m_{1}+m_{2}+\tečky +m_{k}=n$

Pak funkce

t^{\nu }e^{\lambda _{j}t},\ \ 1\leq j\leq k,\ \ 0\leq \nu \leq m_{j}-1

jsou lineárně nezávislá (obecně řečeno komplexní) řešení homogenní rovnice, tvoří fundamentální systém řešení .

Obecné řešení rovnice je lineární kombinací s libovolnými konstantními (obecně řečeno komplexními) koeficienty fundamentálního systému řešení.

Pomocí Eulerova vzorce pro dvojice komplexně konjugovaných kořenů můžeme nahradit odpovídající dvojice komplexních funkcí v základním systému řešení dvojicemi reálných funkcí tvaru $\lambda _{j}=\alpha _{j}\pm i\beta _{j},\ \ 1\leq j\leq k$

t^{\nu }e^{\alpha _{j}t}\cos(\beta _{j}t),\ \ t^{\nu }e^{\alpha _{j}t }\sin(\beta _{j}t),\ \ j\in {\overline {1\tečky k)),\ \ 0\leq \nu \leq m_{j}-1

a sestrojte obecné řešení rovnice jako lineární kombinaci s libovolnými reálnými konstantními koeficienty.

Rovnice druhého řádu

Homogenní rovnice druhého řádu:

a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=0

integrovaný takto:

Nechť jsou kořeny charakteristické rovnice ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2))$

a_{2}\lambda ^{2}+a_{1}\lambda +a_{0}=0

což je kvadratická rovnice .

Tvar obecného řešení homogenní rovnice závisí na hodnotě diskriminantu : ${\displaystyle \Delta =a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0))$

když rovnice má dva různé reálné kořeny $\Delta >0$

\lambda _{1,2}=\alpha _{1,2}={\frac {-a_{1}\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a_{2}}}}.

Obecné řešení vypadá takto:

{\displaystyle y(t)=c_{1}e^{\alpha _{1}t}+c_{2}e^{\alpha _{2}t))

at - dva shodné skutečné kořeny $\Delta =0$

\lambda _{1}=\lambda _{2}=\alpha ={\frac {-a_{1}}{2a_{2}}}.

Obecné řešení vypadá takto:

{\displaystyle y(t)=c_{1}e^{\alpha t}+c_{2}te^{\alpha t))

pro , existují dva komplexně konjugované kořeny $\Delta <0$

\lambda _{1,2}=\alpha \pm i\beta ={\frac {-a_{1}}{2a_{2}}}\pm i{\frac {\sqrt {|\Delta |}}{2a_{2}}}.

Obecné řešení vypadá takto:

y(t)=c_{1}e^{\alpha t}\cos(\beta t)+c_{2}e^{\alpha t}\sin(\beta t)

Nehomogenní rovnice

Nehomogenní rovnice je integrována metodou variace libovolných konstant ( Lagrangeova metoda ).

Tvar obecného řešení nehomogenní rovnice

Pokud je dáno konkrétní řešení nehomogenní rovnice a je základním systémem řešení odpovídající homogenní rovnice, pak je obecné řešení rovnice dáno vzorcem $y_{0}(t)$ $y_{1}(t),\ldots ,y_{n}(t)$

y(t)=c_{1}y_{1}(t)+\ldots +c_{n}y_{n}(t)+y_{0}(t),

kde jsou libovolné konstanty. ${\displaystyle c_{1},\tečky ,c_{n))$

Princip superpozice

Stejně jako v obecném případě lineárních rovnic je v různých formulacích principu superpozice ve fyzice použit princip superpozice.

V případě, kdy se funkce na pravé straně skládá ze součtu dvou funkcí

f(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t)

partikulární řešení nehomogenní rovnice se také skládá ze součtu dvou funkcí

y_{0}(t)=y_{01}(t)+y_{02}(t)

kde jsou řešení nehomogenní rovnice s pravými stranami , resp. $y_{0j}(t),\ \ j\in {\overline {1,2))$ $f_{j}(t),\ \ j\in {\overline {1,2))$

Speciální případ: kvazi -polynom

V případě, kdy je kvazi-polynom, tj. $f(t)$

f(t)=p(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t)+q(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t)

kde jsou polynomy , konkrétní řešení rovnice se hledá ve tvaru $p(t),\ q(t)$

y_{0}(t)=(P(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t)+Q(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t)) t^{s}

kde

$P(t),\ Q(t)$ polynomy, jejichž koeficienty se zjistí dosazením do rovnice a výpočtem metodou neurčitých koeficientů . $deg(P)=deg(Q)=Max(deg(p),\ deg(q))$ $y_{0}(t)$
$s$ je násobek komplexního čísla jako kořen charakteristické rovnice homogenní rovnice. $w=\alpha +i\beta$

Zejména když

{\displaystyle f(t)=p(t)e^{\alpha t))

kde je polynom, hledá se konkrétní řešení rovnice ve tvaru $p(t)$

{\displaystyle y_{0}(t)=P(t)e^{\alpha t}t^{s))

Zde je polynom, , s neurčitými koeficienty, které se nalézají dosazením do rovnice. je násobnost jako kořen charakteristické rovnice homogenní rovnice. $P(t)$ $deg(P)=deg(p)$ $y_{0}(t)$ $s$ $\alpha$

Když

f(t)=p(t)

kde je polynom, hledá se konkrétní řešení rovnice ve tvaru $p(t)$

{\displaystyle y_{0}(t)=P(t)t^{s))

Zde je polynom, , a je násobek nuly jako kořen charakteristické rovnice homogenní rovnice. $P(t)$ $deg(P)=deg(p)$ $s$

Cauchy-Eulerova rovnice

Cauchyho-Eulerova rovnice je speciální případ lineární diferenciální rovnice ve tvaru:

\sum _{k=1}^{n}{a_{k}(\alpha x+\beta )^{k}y^{(k)}(x)}=a_{n}(\alpha x+\beta )^{n}y^{(n)}(x)+...+a_{2}(\alpha x+\beta )^{2}y''(x)+a_{1}( \alpha x+\beta )y'(x)+a_{0}y(x)=f(x)

redukovatelný na lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty substitucí tvaru . ${\displaystyle (\alpha x+\beta )=e^{t))$

Aplikace

Diferenciální rovnice jsou nejběžněji používanou a klasickou formou matematického popisu procesů. Různé formy matematických popisů jsou nástrojem pro analytickou analýzu a syntézu dynamických systémů a systémů automatického řízení. Diferenciální rovnice, jejichž parametry závisí na proměnných, se nazývají nelineární a nemají obecná řešení. V současné době je v teorii automatického řízení hojně využíván matematický aparát Laplaceovy a Fourierovy integrální transformace. Z matematiky je známo, že DC je kompaktně transformováno do frekvenční oblasti. s konstantními koeficienty a za nulových počátečních podmínek. A v teorii řízení je taková rovnice lineární. [jeden]

Pokud je dynamický systém reprezentován nelineárními diferenciálními rovnicemi matematické fyziky, pak je pro aplikaci klasických metod analýzy těchto systémů nutná jejich linearizace .

Viz také

Lineární rekurentní sekvence je diskrétní analogie lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty.

Poznámky

↑ A. V. Andryushin, V. R. Sabanin, N. I. Smirnov. Management a inovace v tepelné energetice. - M: MPEI, 2011. - S. 41. - 392 s. - ISBN 978-5-38300539-2 .