Liouville číslo
Liouvilleovo číslo je iracionální číslo , které lze aproximovat racionálními čísly , takže pro každé celé číslo existuje nekonečně mnoho dvojic celých čísel ( ), takže:
.
Diofantní číslo [1] je iracionální číslo, které nelze tímto způsobem reprezentovat, to znamená, že při aproximaci racionálním číslem je chyba alespoň určitá mocnina jmenovatele:
.
Podle Liouvilleovy věty o aproximaci algebraických čísel je každé algebraické iracionální číslo diofantické. Zejména je tedy jakékoli Liouvilleovo číslo transcendentální , což umožňuje explicitně konstruovat transcendentální čísla jako součty superrychlých konvergentních řad racionálních čísel.
Diofantní čísla jsou metricky typická: jejich množina má plnou Lebesgueovu míru . Liouvilleova čísla jsou naopak z topologického hlediska typická: jejich množina je reziduální .
Míra iracionality Liouvilleových čísel: navíc, pokud je míra iracionality čísla nekonečná, pak je to Liouville (někdy je tato vlastnost brána jako definice Liouvilleových čísel).
Klasickým příkladem Liouvilleova čísla je Liouvilleova konstanta , definovaná jako:
