Logaritmický dekrement oscilací

Logaritmický dekrement oscilací ( útlum decrement ; z latinského decrementum - „pokles, pokles“) je bezrozměrná fyzikální veličina , která popisuje pokles amplitudy oscilačního procesu a rovná se přirozenému logaritmu poměru dvou po sobě následujících amplitud oscilující hodnota x ve stejném směru:

\lambda =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}.

Logaritmický úbytek kmitů se rovná faktoru tlumení β , vynásobenému dobou kmitů T :

\lambda =\beta T.

Tento parametr se zpravidla používá pro lineární oscilační systémy, protože v nelineárních systémech závisí doba oscilace obecně na amplitudě a zákon poklesu amplitudy se liší od exponenciálního. V lineárních systémech se kolísavá veličina mění s časem jako

x(t)=Ae^{-\beta t}\cos \omega t,

kde A = x (0) je počáteční amplituda, t je čas, ω = 2π/ T je frekvence cyklického kmitání.

Označením X n = x ( nT ) získáme , že poměr X k a X k +1 je roven

X_{k}/X_{k+1}={\frac {e^{-\beta kT}}{e^{-(k+1)\beta T}}}\cdot {\frac { \cos(2\pi k)}{\cos(2\pi (k+1))))=e^{\beta T}.

Logaritmický dekrement se rovná exponentu tohoto exponentu:

\lambda =\ln(X_{k}/X_{k+1})=\ln e^{\beta T}=\beta T.

Je-li energie oscilačního systému úměrná x , pak je jeho kvalitativní faktor (relativní ztráta energie při nárůstu fáze o 1 radián) roven

Q={\frac {2\pi }{1-e^{-\lambda }}},

a logaritmický dekrement je vyjádřen jako faktor kvality jako

\lambda =-\ln \left(1-{\frac {2\pi }{Q}}\right).

U systémů s vysokým faktorem kvality (tj. se slabým tlumením) se proto rozšířením řady Maclaurin v λ můžeme omezit na první dva členy a nahradit je v těchto vzorcích , což vede k $\lambda \ll 1,$ $e^{-\lambda }$ $e^{-\lambda }$ $1-\lambda ,$

Q\approx {\frac {2\pi }{\lambda )),\qquad \lambda \approx {\frac {2\pi }{Q)).

Odkazy

Dekrement tlumení // Fyzická encyklopedie : [v 5 svazcích] / Kap. vyd. A. M. Prochorov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohmův efekt - Dlouhé čáry. - S. 578. - 707 s. — 100 000 výtisků.