M-skóre

Odhady maximální věrohodnosti (MLE) jsou určeny jednou z následujících podmínek:

\sum _{i}\ln P_{i}\to \max _{\theta \in \Theta },\qquad \sum _{i}{\frac {\partial \ln P_{i)) {\částečný \theta }}=0,\qquad \součet _{i}{\frac {P_{i}'}{P_{i}}}=0

kde v případě neseskupeného vzorku a v případě seskupeného vzorku, $P_{i}=f(x_{i},\theta )$ $P_{i}=\left(\int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(x,\theta )\,\mathrm {d} x\right)^ {n_{i}}$

M-odhady - existuje určitá generalizace ZHN. Jsou definovány podobně jedním ze vztahů:

$\sum _{i=1}^{N}\rho (x_{i},\theta )\to \max _{\theta \in \Theta },\qquad \sum _{i=1} ^{N}\phi (x_{i},\theta )=0$

Pokud v substituci zavedeme podmínku pravidelnosti a diferencujeme ji vzhledem k 0: $F_{t,x}=(1-t)F+t\Delta _{x}$ $t$

0={\frac {\partial }{\partial {t))}\int \phi (x,T(F_{t,x}))\,\mathrm {d} F_{t,x}

0=\int {\frac {\částečné \phi (x,T(F_{t,x}))}{\částečné \theta }}IF\,\mathrm {d} F_{t,x} +\int \phi (x,T(F_{t,x}))\,\mathrm {d} {\frac {\částečné ((1-t)F+t\Delta _{x})}{\ částečné t}}

0=IF\int {\frac {\částečné \phi (x,T(F_{t,x}))}{\částečné \theta }}\,\mathrm {d} F_{t,x} +\phi (x,T(F_{t,x}))

pak není obtížné získat vyjádření funkce vlivu pro M-odhady : $IF={\frac {-\phi (x)}{\int \phi '_{\theta }(x)\,\mathrm {d} F))$

Tento výraz nám umožňuje dospět k závěru, že M-odhady jsou ekvivalentní až do nenulového konstantního faktoru.

Je snadné zkontrolovat, že pro MLE standardního zákona normálního rozdělení vypadají vlivové funkce parametru posunu a parametru měřítka: ${\mathcal {N}}(0,1)$ $IF$

IF=x,\quad IF={\frac {1}{2}}\;x^{2}-{\frac {1}{2}}

Tyto funkce jsou neomezené, což znamená, že MLE není robustní z hlediska B-robustnosti.

Aby se to napravilo, M-odhady uměle omezují, a tedy omezují (viz výraz pro M-odhady), čímž nastavují horní bariéru vlivu pozorování odlehlých hodnot (daleko od očekávaných hodnot parametrů). To se provádí zavedením takzvaných zkrácených M-odhadů, definovaných výrazem: $IF$ $IF$

$\phi _{b}(z)=\left\{{\begin{array}{lr}\phi (b),&b<z\\\phi (z),&-b<z\leqslant b\\\phi (-b),&z\leqslant -b\end{array}}\right.$

kde , a jsou odhady parametrů posunu a měřítka. $z={\frac {x-\theta }{S}}$ $\theta$ $S$

Mezi zkrácenými M-odhady jsou zkrácené MLE optimální z hlediska B-robustnosti.

Viz také

Robustnost ve statistice

Zdroje

Robert G. Staudte: Robustní odhad a testování . Wiley, New York 1990. ISBN 0-471-85547-2
Rand R. Wilcox: Úvod do robustního odhadu a testování hypotéz . Academic Press, San Diego Cal 1997. ISBN 0-12-751545-3