Fubiniho malá věta

Fubiniho malý teorém je teorém o diferenciaci po členech pro řadu monotónních funkcí , který říká:

Všude konvergentní řady monotónních (neklesajících) funkcí:

\sum _{{n=1}}^{\infty }F_{n}(x)=F(x)\qquad (1)

téměř všude připouští diferenciaci termínů:

\sum _{{n=1}}^{\infty }F_{n}'(x)=F'(x).

Důkaz

Bez ztráty obecnosti můžeme předpokládat, že všechny funkce jsou nezáporné a rovné nule pro ; jinak můžete nahradit . Součet řady neklesajících funkcí je samozřejmě neklesající funkcí. $F'(x)$ $x=a$ $F_{n}(x)$ $F_{n}(x)-F_{n}(a)$

Zvažte soubor plné míry, na kterém všechny a existují . Pro a všechny co máme: $E$ $F_{n}'(x)$ $F'(x)$ $x\podmnožina E$ $\varepsilon$

{\frac {\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }[F_{n}(\varepsilon )-F_{n}(x)]}{\varepsilon -x}}={\ frac {F(\varepsilon )-F(x)}{\varepsilon -x}}.

Vzhledem k tomu, že výrazy vlevo nejsou záporné, pro všechny $N$

{\frac {\sum \limits _{{n=1}}^{N}[F_{n}(\varepsilon )-F_{n}(x)]}{\varepsilon -x}}\leqslant {\ frac {F(\varepsilon )-F(x)}{\varepsilon -x}}.

Překročením limitu v , získáme: $\varepsilon \to x$

\sum _{{n=1}}^{N}F_{n}'(x)\leqslant F'(x),

odkud, s ohledem na to, že všechny jsou nezáporné, najdeme: $N$ $\infty$ $F_{n}'(x)$

\sum _{{n=1}}^{\infty }F_{n}'(x)\leqslant F'(x).\qquad (2)

Ukažme, že ve skutečnosti téměř pro všechny zde platí znak rovnosti. Najděte pro daný dílčí součet řady (1), pro kterou: $X$ $k$ $S_{{nk}}(x)$

0\leqslant F(b)-S_{{nk}}(b)\prec {\frac {1}{2^{k}}}.\quad (k=1,\;2,\;\ldots )

Od rozdílu

F(x)-S_{{nk}}(x)=\součet _{{j\succ nk}}F_{j}(x)

je neklesající funkce, tedy pro všechny

X

0\leqslant F(x)-S_{{nk}}(x)\prec {\frac {1}{2^{k}}}

a následně řadu neklesajících funkcí

\sum _{{k=1}}^{\infty }[F(x)-S_{{nk}}(x)]

konverguje (i rovnoměrně) na celém segmentu . $a\leqslant x\leqslant b$

Ale podle toho, co bylo dokázáno, řada derivátů také konverguje téměř všude. Společný termín této řady má tendenci k nule téměř všude, a tedy téměř všude . Pokud by ale nerovnost (2) měla znaménko , pak by žádná posloupnost částečných součtů nemohla mít limitu . Proto v nerovnosti (2), téměř u každého , musí nastat znak rovnosti, což jsme tvrdili. $F'(x)-S_{{nk}}'(x)$ $S_{{nk}}'(x)\to F'(x)$ $<$ $F'(x)$ $X$