Fubiniho malý teorém je teorém o diferenciaci po členech pro řadu monotónních funkcí , který říká:
Všude konvergentní řady monotónních (neklesajících) funkcí:
téměř všude připouští diferenciaci termínů:
Bez ztráty obecnosti můžeme předpokládat, že všechny funkce jsou nezáporné a rovné nule pro ; jinak můžete nahradit . Součet řady neklesajících funkcí je samozřejmě neklesající funkcí.
Zvažte soubor plné míry, na kterém všechny a existují . Pro a všechny co máme:
Vzhledem k tomu, že výrazy vlevo nejsou záporné, pro všechny
Překročením limitu v , získáme:
odkud, s ohledem na to, že všechny jsou nezáporné, najdeme:
Ukažme, že ve skutečnosti téměř pro všechny zde platí znak rovnosti. Najděte pro daný dílčí součet řady (1), pro kterou:
Od rozdílu
je neklesající funkce, tedy pro všechnya následně řadu neklesajících funkcí
konverguje (i rovnoměrně) na celém segmentu .
Ale podle toho, co bylo dokázáno, řada derivátů také konverguje téměř všude. Společný termín této řady má tendenci k nule téměř všude, a tedy téměř všude . Pokud by ale nerovnost (2) měla znaménko , pak by žádná posloupnost částečných součtů nemohla mít limitu . Proto v nerovnosti (2), téměř u každého , musí nastat znak rovnosti, což jsme tvrdili.