Permutační matice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 8. března 2020; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Permutační (nebo permutační ) matice je čtvercová binární matice , v jejímž každém řádku a sloupci je přesně jeden prvek identity. Každá permutační matice velikosti je maticovou reprezentací permutace prvků . $n\krát n$ $n$

Definice

Nechť je dána permutace prvků : $\sigma$ $n$

{\begin{pmatrix}1&&2&&\ldots &&n\\\sigma (1)&&\sigma (2)&&\ldots &&\sigma (n)\end{pmatrix))

Odpovídající permutační matice je matice ve tvaru: $n\krát n$

P_{\sigma }={\begin{pmatrix}{\mathbf {e}}_{{\sigma (1)}}\\{\mathbf {e}}_{{\sigma (2)))\\ \vdots \\{\mathbf {e}}_{{\sigma (n)}}\end{pmatrix}},

kde je vektor dimenze , jehož tý prvek je roven 1 a zbytek je roven nule. ${\mathbf {e}}_{{i}}$ $n$ $i$

Příklad

Permutace:

\pi ={\begin{pmatrix}1&&2&&3&&4\\4&&2&&1&&3\end{pmatrix}}

Odpovídající matice:

P={\begin{pmatrix}0&&0&&0&&1\\0&&1&&0&&0\\1&&0&&0&&0\\0&&0&&1&&0\\\end{pmatrix}}

Vlastnosti

Pro libovolné dvě permutace mají jejich matice vlastnost: $\sigma ,\pi$ $P_{\pi }P_{\sigma }=P_{\sigma \circ \pi }.$
Permutační matice jsou ortogonální , takže pro každou takovou matici existuje inverzní: $P_{\sigma }^{-1}=P_{\sigma }^{T}.$
Násobením libovolné matice permutační maticí se odpovídajícím způsobem prohodí její sloupce. $M$
Násobení permutační matice libovolnou jednou zamění řádky v . $M$ $M$
Determinant permutační matice se rovná paritě permutace. Determinant sudé permutace je 1, determinant liché permutace je -1.