Přechodová matice

V lineární algebře je základem vektorového prostoru dimenze sekvence vektorů , takže jakýkoli vektor v prostoru může být jednoznačně reprezentován jako lineární kombinace vektorů základu. S daným základem jsou operátory reprezentovány jako čtvercové matice . Protože je často nutné pracovat s několika bázemi ve stejném vektorovém prostoru, je nutné mít pravidlo pro převod souřadnic vektorů a operátorů z báze na bázi. Takový přechod se provádí pomocí přechodové matice . $n$ $n$ $(\alpha _{1},...,\alpha _{n})$

Definice

Pokud jsou vektory vyjádřeny pomocí vektorů jako: $\mathbf {b_{1}} ,\cdots ,\mathbf {b_{n}}$ $\mathbf {a_{1}} ,\cdots ,\mathbf {a_{n}}$

\mathbf {b} _{1}=\alpha _{11}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{21}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{n1}\mathbf {a} _{n}

\mathbf {b} _{2}=\alpha _{12}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{22}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{n2}\mathbf {a} _{n}

\ldots

\mathbf {b} _{n}=\alpha _{1n}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{2n}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{nn}\mathbf {a} _{n}

pak přechodová matice od základu k základu ) bude: $(\mathbf {a_{1}} ,\cdots ,\mathbf {a_{n}} )$ $(\mathbf {b_{1)) ,\cdots ,\mathbf {b_{n))$

{\begin{pmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}&...&\alpha _{1n}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}&. ..&\alpha _{2n}\\...&...&...&...\\\alpha _{n1}&\alpha _{n2}&...&\alpha _{ nn}\end{pmatrix}}

Použití

Při vynásobení matice inverzní k přechodové matici sloupcem složeným z koeficientů expanze vektoru na bázi , dostaneme stejný vektor vyjádřený na bázi . $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ $b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}$

Příklad

Chcete-li otočit vektor o úhel θ proti směru hodinových ručiček, můžete jím vynásobit matici otáčení :

{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix }}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}

Matice nejběžnějších transformací
	Ve dvourozměrných souřadnicích	V homogenních dvourozměrných souřadnicích	V homogenních trojrozměrných souřadnicích
Měřítko Když a , b a c jsou měřítko podél os OX , OY a OZ :	${\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}a&0&0&0\\0&b&0&0\\0&0&c&0\\0&0&0&1\end{bmatrix))$
Otočit se Když φ je úhel natočení obrazu ve dvourozměrném prostoru	Ve směru hodinových ručiček ${\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix))$	${\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix))$	Vzhledem k OX o úhel φ ${\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi &0\\0&\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&0&1\end{bmatrix))$	Vzhledem k OY o úhel ψ ${\begin{bmatrix}\cos \psi &0&\sin \psi &0\\0&1&0&0\\-\sin \psi &0&\cos \psi &0\\0&0&0&1\end{bmatrix))$
	Proti směru hodinových ručiček ${\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix))$		Vzhledem k OZ o úhel χ ${\begin{bmatrix}\cos \chi &-\sin \chi &0&0\\\sin \chi &\cos \chi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix))$
pohybující se Pro a , b a c - offset podél os OX , OY a OZ , v tomto pořadí .	V nehomogenních souřadnicích nemá maticové znázornění.	${\begin{bmatrix}1&0&a\\0&1&b\\0&0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1&0&0&a\\0&1&0&b\\0&0&1&c\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

Vlastnosti

Přechodová matice je nedegenerovaná . To znamená, že determinant této matice se nerovná nule.
$P_{{e\rightarrow e'}}^{{-1}}=P_{{e'\rightarrow e}}$

Příklad maticového vyhledávání

Elementárními transformacemi najdeme přechodovou matici od základu k základu identity $a_{{1}}={\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}},a_{{2}}={\begin{pmatrix}-1\\-4\\2 \end{pmatrix}},a_{{3}}={\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix}}$ $b_{{1}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},b_{{2}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{ pmatrix}},b_{{3}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

$\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&5&1&0&0\\2&-4&1&0&1&0\\-1&2&0&0&0&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ ccc|ccc}1&0&0&2&-10&-19\\0&1&0&1&-5&-9\\0&0&1&0&1&2\end{array}}\right)$ tudíž $P_{{a\rightarrow b}}={\begin{pmatrix}2&-10&-19\\1&-5&-9\\0&1&2\end{pmatrix}}$

Viz také

Odkazy

Přechodové matice od základu k základu