Matrikant

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. dubna 2014; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Matricant je základní matice řešení systému obyčejných diferenciálních rovnic $X(t)$

x'(t)=A(t)x(t),\quad x(t)\in \mathbb {R} ^{n},\quad A(t)

je rodina matic s jedním parametrem.

v bodě normalizováno . ( Cauchyho matice systému diferenciálních rovnic se také někdy nazývá matrixant.) $t_0$

Matricant je jediné spojité řešení Cauchyho maticového problému

X'=A(t)X

, ( je matice identity )

X(t_{0})=I

já

pokud je maticová funkce lokálně sčítatelná na nějakém intervalu. $V)$

Jakékoli řešení systému je zapsáno jako . $x(t)$ $x(t)=X(t)x(t_{0})$

Řádkové zobrazení

Matrixant má rozšíření řady

X(t)=I+\int _{t_{0}}^{t}A(t_{1})dt_{1}+\int _{t_{0}}^{t}A(t_ {1})\int _{t_{0}}^{t_{1}}A(t_{2})dt_{2}dt_{1}+\ldots =

=I+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\;\int \limits _{t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}<t}\prod \limits _{k=1}^{n}A(t_{k})\prod \limits _{k=1}^{n}dt_{k}

Exponentní reprezentace

Pokud matice splňuje Lappo-Danilevského podmínku: $A(t)$

[\int _{t_{0}}^{t}A(s)ds,A(t)]=0,

kde je komutátor, potom bude mít matrixant tvar: $[\cdot ,\cdot ]$

X(t)=e^{\int _{t_{0}}^{t}A(s)ds}

Obecně lze řešení zapsat pomocí T-exponentu :

X(t)=\mathrm {Texp} \left(\int _{t_{0))^{t}A(s)ds\right)

Matrixantový determinant

Matricantový determinant je Wronského determinant fundamentálního normalizovaného systému řešení odpovídající diferenciální rovnice. Splňuje vzorec Liouville-Ostrogradského

W_{n}(t)=\det X(t)=e^{\int _{t_{0}}^{t}\mathop {\rm {tr}} \;A(s)ds }

Potom, vezmeme-li v úvahu Liouville-Ostrogradského vzorec pro Wronského determinant libovolného systému řešení, bude mít tvar: $x(t)=X(t)x(t_{0})$

W(t)=W(t_{0})e^{\int _{t_{0}}^{t}\mathop {\rm {tr}} \;A(s)ds}.

Literatura

Matematická encyklopedie Ed. collegium: I. M. Vinogradov (vedoucí redaktora) [a další] M., "Sovětská encyklopedie", 1977-1985.

A.N. Tichonov, A.B. Vasiljevová, A.G. Sveshnikov. Kurz vyšší matematiky a matematické fyziky. Diferenciální rovnice. - Fizmatlit, 2005. - ISBN 5-9221-0277-X .