Lagrangeova metoda pro redukci kvadratické formy na kanonickou formu

Popis

Tato metoda spočívá v postupném výběru celých čtverců v kvadratické formě. Nechť je dán kvadratický tvar:

\součet _{{i=1}}^{n}\součet _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}x_{j}

Díky symetrii matice může být kvadratická forma přepsána následovně: $a_{{ij}}(a_{{ij}}=a_{{ji}})$

{\součet _{{i=1}}^{n}\součet _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}x_{j}}={\součet _{ {i=1}}^{n}({a_{{ii}}{x_{i}}^{2}+\sum _{{j=i+1}}^{n}{2a_{{ij }}x_{i}x_{j}}})}

Jsou možné dva případy:

alespoň jeden ze čtvercových koeficientů je nenulový. Bez ztráty obecnosti budeme předpokládat (toho lze vždy dosáhnout vhodným přečíslováním proměnných); $a_{{ii}}$ $a_{{11}}\neq 0$
všechny koeficienty , ale existuje nenulový koeficient (pro definitivnost budiž ). $a_{ii}=0,i=1,2,...,n$ $a_{{ij}},i\neq j$ $a_{{12}}\neq 0$