Ostrogradského metoda

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. března 2021; kontroly vyžadují 7 úprav .

Ostrogradského metoda je metoda pro integraci racionálních funkcí s více neredukovatelnými faktory ve jmenovateli. Metoda umožňuje používat pouze algebraické operace k redukci problému integrace libovolné racionální funkce na problém integrace racionální funkce bez více kořenů ve jmenovateli.

Historie

Ostrogradského metoda je pojmenována po M.V.Ostrogradském , který ji poprvé navrhl 22. listopadu 1844 na zasedání Fyzikálně-matematického oddělení Akademie věd [1] , vyšlo následujícího roku ve francouzštině [2] , článek byl přeložen do ruštiny v roce 1958. [ jeden]

Popis metody

Jakýkoli integrál racionální funkce může být reprezentován jako

\int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)))+\int {\ frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}dx

Zde je součin všech ireducibilních faktorů polynomu bez zohlednění násobnosti (to znamená, že každý neredukovatelný faktor polynomu nastane jednou při rozkladu polynomu), je součin všech neredukovatelných faktorů polynomu se sníženou násobností o 1 (každý neredukovatelný faktor mnohonásobného polynomu se vyskytuje při rozkladu polynomu krát). Zlomek je správný. Tento vzorec se nazývá Ostrogradského formule . zde je algebraická (racionální) část integrálu racionální funkce a transcendentální část . $Q_{2}(x)$ $Q(x)$ $Q(x)$ $Q_{2}(x)$ $Q_{1}(x)$ $Q(x)$ $Q(x)$ $n$ $Q_{1}(x)$ $n-1$ ${\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)))$ ${\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)))$ $\int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx$ $\int {\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}dx$

Podstata metody je následující. Píšeme polynomy a s neurčitými koeficienty: $P_{1}(x)$ $P_{2}(x)$

{\displaystyle P_{1}(x)=A_{s}x^{s}+\ldots +A_{1}x+A_{0))

{\displaystyle P_{2}(x)=B_{r}x^{r}+\ldots +B_{1}x+B_{0))

Stupně polynomů se dají zjistit později, nebo si to můžete vzít pro jistotu předem. Nechte dále . Zlomek pod integrálem by se měl ukázat jako správný, takže stupeň lze brát jako . Pokud byl původní zlomek správný, pak je správný a stupeň můžete brát jako . Pokud je nesprávná, vyberte část celého čísla a snižte zlomek na správný (nebo vezměte takový stupeň, aby se stupně části celého čísla vlevo a vpravo shodovaly). $\operatorname {deg} {P}=n,\ \operatorname {deg} {Q}=m,\ \operatorname {deg} {Q_{2}}=p,\ \operatorname {deg} {Q_{ 1}}=mp$ $P_2$ $p-1$ ${\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ $P_1$ $mp-1$

Nyní můžeme najít koeficienty těchto polynomů metodou neurčitých koeficientů. Rozlišujme tuto rovnost.

{\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {P_{1}'(x)Q_{1}(x)-P_{1}(x)Q_{1 }'(x)}{Q_{1}^{2}(x)}}+{\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)))

Vynásobte obě strany . $Q(x)$

P(x)={\frac {P_{1}'(x)Q(x)}{Q_{1}(x)))-{\frac {P_{1}(x)Q_{1 }'(x)Q(x)}{Q_{1}^{2}(x)))+{\frac {P_{2}(x)Q(x)}{Q_{2}(x)} }=P_{1}'(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x){\frac {Q_{1}'(x)Q_{2}(x)}{Q_{1} (x)}}+P_{2}(x)Q_{1}(x)

Obě strany rovnosti obsahují polynomy. zde je také polynom, protože je dělitelný . Srovnáme koeficienty se stejnými mocninami a získáme systém lineárních algebraických rovnic . Jeho řešením získáme jako výsledek koeficienty polynomů a . $P_{1}(x){\frac {Q_{1}'(x)Q_{2}(x)}{Q_{1}(x)))$ $Q_{1}'(x)Q_{2}(x)$ $Q_{1}(x)$ $P_{1}(x)$ $P_{2}(x)$

V důsledku toho jsme představili původní integrál ve tvaru . Problém byl zredukován na integraci zlomku bez více neredukovatelných faktorů ve jmenovateli. ${\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}+\int {\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x))) dx$

Vzorec umožňuje přesněji vybrat stupně pro polynomy a . Pokud srovnáme mocniny všech členů, pak dostaneme a . $P(x)=P_{1}'(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x){\frac {Q_{1}'(x)Q_{2}(x) }{Q_{1}(x)}}+P_{2}(x)Q_{1}(x)$ $P_{1}(x)$ $P_{2}(x)$ $s=n-p+1$ $r=n+pm$

Ostrogradského metoda umožňuje okamžitě získat algebraickou část integrálu racionální funkce. Navíc k tomu není ani nutné počítat rozklad na neredukovatelné. Opravdu, , . GCD polynomials lze vypočítat pomocí Euklidova algoritmu . Algebraickou část integrálu racionální funkce lze tedy nalézt pomocí Ostrogradského metody pouze pomocí algebraických operací. $Q(x)$ $Q_{1}(x)={\text{gcd))(Q,Q')$ $Q_{2}(x)={\frac {Q}({\text{gcd}}(Q,Q')}}$

Důkaz

Důkaz, že Ostrogradského formuli lze napsat pro jakýkoli racionální zlomek, okamžitě získáme z obecného tvaru integrálu.

Zapišme si obecný tvar integrálu racionální funkce.

\int {\frac {P(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}}\displaystyle \prod _{ i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i))))\,dx={\frac {T(x)}{\ styl zobrazení \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}-1}\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x^{2} +p_{i}x+q_{i})^{m_{i}-1}}}+\součet _{i=1}^{l}{A_{i}\ln {|x-x_{i }|}}+\součet _{i=1}^{n}\left({B_{i}\ln(x^{2}+p_{i}x+q_{i})+C_{i} \operatorname {arctg} {\frac {x+r_{i}}{h}}}\right)

${\displaystyle x+r_{i))$ zde je lineární binom získaný výběrem úplného čtverce z , tj . Uveďme logaritmy a arkustangens pod integrál. $x^{2}+p_{i}x+q_{i}$ ${\displaystyle x^{2}+p_{i}x+q_{i}=(x+r_{i})^{2}+h^{2))$

\int {\frac {P(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}}\displaystyle \prod _{ i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i))))\,dx={\frac {T(x)}{\ styl zobrazení \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}-1}\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x^{2} +p_{i}x+q_{i})^{m_{i}-1}}}+\int \left(\sum _{i=1}^{l}{\frac {A_{i}} {x-x_{i}}}+\součet _{i=1}^{n}\left({\frac {B_{i}(2x+p_{i})+C_{i}h}{x ^{2}+p_{i}x+q_{i}}}\vpravo)\vpravo)\,dx

Výsledný vzorec je Ostrogradského vzorec. Zlomek pod integrálem je správný, protože je součtem vlastních zlomků.

Poznámky

↑ 1 2 M. V. Ostrogradskij. Vybraná díla / Ed. V. I. Smirnova . - L . : Nakladatelství Akademie věd SSSR, 1958. - S. 471 . - ( Klasika vědy ). - 3000 výtisků.
↑ M. Ostrogradskij. De l'integration des zlomky rationelles . — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Academie impériale des sciences de Saint-Petersbourg. - 1845. - Sv. IV. — plk. 145-167, 286-300.