Schoenhardtův mnohostěn

Schoenhardtův mnohostěn  je nejjednodušší nekonvexní mnohostěn , který nelze triangulovat pomocí čtyřstěnů bez přidání nových vrcholů. Mnohostěn je pojmenován po německém matematikovi Erichu Schönhardtovi , který jej postavil v roce 1928 .

Konstrukce

Schoenhardtův mnohostěn lze sestrojit pomocí dvou shodných pravidelných trojúhelníků na dvou rovnoběžných rovinách, takže čára vedená středy trojúhelníků je kolmá k rovinám. Dva trojúhelníky musí být vůči sobě natočeny tak, aby nebyly ani rovnoběžným vzájemným posunutím, ani otočením o 180°.

Konvexní trup těchto dvou trojúhelníků tvoří konvexní mnohostěn , který je kombinatoricky ekvivalentní pravidelnému osmistěnu . Spolu s hranami původních trojúhelníků má mnohostěn šest hran spojujících tyto dva trojúhelníky, o dvou různých délkách a třech vnitřních úhlopříčkách . Schoenhardtův mnohostěn se získá odstraněním delších spojovacích hran a jejich nahrazením třemi konvexními diagonálami trupu.

Schoenhardtův mnohostěn může být také vytvořen odstraněním tří čtyřstěnů z konvexního trupu. Každý čtyřstěn, který má být odstraněn, je konvexní obal se čtyřmi vrcholy dvou trojúhelníků, dva z každého. Toto odstranění má za následek nahrazení dlouhých spojovacích hran třemi novými hranami s konkávními dihedrálními úhly , což vede k nekonvexnímu mnohostěnu.

Popis

Schoenhardt polyhedron je combinatorially ekvivalentní k pravidelnému oktaedron . To znamená, že jeho vrcholy, hrany a plochy mohou být spojeny jedna ku jedné s vrcholy, hranami a plochami pravidelného osmistěnu. Ale na rozdíl od běžného osmistěnu mají tři hrany konkávní dihedrální úhly a tyto tři hrany tvoří dokonalou shodu grafu osmistěnu. Tato skutečnost je zásadní pro prokázání nepřítomnosti triangularizace.

Šest vrcholů Schoenhardtova mnohostěnu lze použít k získání patnácti neuspořádaných párů vrcholů. Dvanáct z těchto patnácti párů tvoří hrany mnohostěnu – šest jsou hrany dvou pravidelných trojúhelníkových ploch a šest hran spojuje dva trojúhelníky. Zbývající tři hrany tvoří úhlopříčky mnohostěnu, ale leží zcela mimo mnohostěn.

Nelze triangulovat

Schönhardtův polytop není možné rozdělit na čtyřstěny , jejichž vrcholy jsou vrcholy polytopu. Navíc neexistuje žádný čtyřstěn, který by ležel celý uvnitř Schoenhardtova mnohostěnu a měl vrcholy mnohostěnu jako vrcholy. Ve skutečnosti mezi libovolnými čtyřmi vrcholy Schoenhardtova polytopu musí být alespoň jeden pár úhlopříčkou polytopu a diagonály leží zcela mimo polytop.

Aplikace

Ruppert a Seidel [1] použili Schoenhardtův polytop jako základ pro prokázání NP-úplnosti kontroly, že nekonvexní polytop může být triangulován.

Variace a zobecnění

• Jak ukázal Rambaud [2] , existují mnohostěny, které jsou kombinatoricky ekvivalentní antihranolům , podobně jako Schoenhardtův mnohostěn – nelze je triangulovat. Tyto mnohostěny lze získat spojením pravidelných k - úhelníků ve dvou rovnoběžných rovinách, vzájemně vůči sobě pootočených takovým způsobem, že k z 2k hran spojujících dva k -úhelníky mají konkávní dihedrální úhly.

• Jensenův dvacetistěn je další mnohostěn, který neumožňuje triangulaci bez dalších vrcholů.

• V roce 1948 Bagmeel [3] zkonstruoval mnohostěn, který stejně jako Schoenhardtův mnohostěn nemá žádné vnitřní úhlopříčky .
  • Čtyřstěn a mnohostěn Chasar nemají vůbec žádné úhlopříčky - každý pár vrcholů v těchto mnohostěnech je hrana.
  • Nejasnou zůstává otázka existence dalších mnohostěnů (s hranicemi ve tvaru variety ) bez úhlopříček [4] , existují sice plochy bez úhlopříček s libovolným počtem vrcholů větším než pět, ale jejich hranice nejsou variety [5 ] [6] .

Viz také

• Problém triangulace polygonu

Poznámky

1. ↑ Ruppert, Seidel, 1992 .
2. ↑ Rambau, 2005 .
3. ↑ Bagemihl, 1948 .
4. ↑ Ziegler, 2008 .
5. ↑ Szabó, 1984 .
6. ↑ Szabó, 2009 .

Literatura

• F. Bagemihl. O nerozložitelných mnohostěnech // American Mathematical Monthly . - Mathematical Association of America, 1948. - V. 55 , no. 7 . - S. 411-413 . - doi : 10.2307/2306130 . — . .
• J. Rambau. Kombinatorická a výpočtová geometrie . - Cambridge: Cambridge University Press, 2005. - S. 501-516.
• J. Ruppert, R. Seidel. O obtížnosti triangulací trojrozměrných nekonvexních mnohostěnů . — Diskrétní výpočet. Geom.. - 1992. - T. 7. - S. 227-253. - doi : 10.1007/BF02187840 .  (nedostupný odkaz)
• E. Erich Schönhardt. Über die Zerlegung von Dreieckspolyedern in Tetraeder  // Math. Annalen. - 1928. - T. 98 . - S. 309-312 . - doi : 10.1007/BF01451597 .  (nedostupný odkaz)
• Sandor Szabo. Mnohostěny bez úhlopříček // Periodica Mathematica Hungarica. - 1984. - T. 15 , no. 1 . - S. 41-49 . - doi : 10.1007/BF02109370 .
• Sandor Szabo. Mnohostěny bez úhlopříček II // Periodica Mathematica Hungarica. - 2009. - T. 58 , č.p. 2 . - S. 181-187 . - doi : 10.1007/s10998-009-10181-x .
• Günter M. Ziegler. Diskrétní diferenciální geometrie / AI Bobenko, P. Schröder, JM Sullivan, GM Ziegler. - Springer-Verlag, 2008. - Sv. 38. - S. 191-213. — (Semináře Oberwolfach). - ISBN 978-3-7643-8620-7 . - doi : 10.1007/978-3-7643-8621-4_10 .

Odkazy

• Three Untetrahedralizable Objects , D. Eppstein . Obsahuje rotující 3D model Schönhardtova mnohostěnu.