Černý model

Ve finanční matematice je model Black (také známý jako model Black-76 ) variantou modelu Black-Scholes opce . Má přímé aplikace při oceňování opcí na dluhopisy , smluv "cap" a "floor", swapcí . Model byl poprvé představen v článku Fisher Black v roce 1976.

Blackův model lze zobecnit na třídu modelů známou jako dopředné lognormální modely, také známé jako tržní modely LIBOR .

Blackův vzorec

Vzorec Black je podobný vzorci Black-Scholes pro oceňování akciových opcí , s výjimkou spotové ceny podkladového aktiva, která je nahrazena diskontní cenou futures F.

Předpokládejme, že existuje konstantní bezriziková úroková sazba r a cena futures F(t) pro určité podkladové aktivum má logaritmicky normální rozdělení s parametrem volatility σ . Blackův vzorec pak stanoví cenu evropské kupní opce se splatností T na futures kontrakt s realizační cenou K a datem dodání T' (kde ):

Odpovídající prodejní cena opce je:

kde

a N(.) je kumulativní normální rozdělení .

Všimněte si, že T' se ve vzorci neobjevuje, i když je větší než T. Je to důsledek skutečnosti, že futures jsou kalkulovány trhem, a proto k výplatě dochází při uplatnění opce. Pokud uvažujeme opci na forwardovou smlouvu, která vyprší v čase T' > T, pak k výplatě dojde až v čase T'. Diskontní faktor je tedy nahrazen , protože je nutné vzít v úvahu hodnotu peněz s ohledem na časový faktor . Rozdíl v uvedených dvou případech je z odvození vzorce níže.

Důsledky a předpoklady

Blackův vzorec lze snadno odvodit pomocí vzorce Magrabe , což je zase jednoduchá, ale užitečná aplikace vzorce Black-Scholes .

Výplata za futures call opci je max (0, F(T) - K) . Můžeme zvážit opci na výměnu (opce Magrabe), přičemž jako první aktivum, ale jako druhé, můžeme uvažovat o bezrizikovém splacení dluhopisu 1 USD v čase T . Poté je kupní opce uplatněna v čase T , kdy je první aktivum hodnotnější než K bezrizikové dluhopisy. S takovými aktivy budou splněny předpoklady Magrabeho vzorce.

Zbývá zkontrolovat pouze to, že první aktivum je skutečně aktivem. To lze vidět, pokud vezmeme v úvahu portfolio vytvořené v čase 0 dlouhým forwardovým kontraktem s datem dodání T a krátkým F(0) bezrizikových dluhopisů. Všimněte si, že při dané úrokové sazbě jsou forwardové a futures ceny stejné, takže neexistuje žádná nejednoznačnost. Poté můžete kdykoli t kompenzovat dluhopis pro forwardovou smlouvu shortováním dalšího forwardu se stejným datem dodání, čímž získáte rozdíl v forwardové ceně, ale vyjednáváte se stejnou hodnotou . Likvidace F(0) bezrizikových dluhopisů, z nichž každý je dražší, povede k čistému zisku .

Viz také

Odkazy

Diskuse

Online nástroje

Poznámky