Upravené Besselovy funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. října 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Modifikované Besselovy funkce jsou Besselovy funkce čistě imaginárního argumentu.

Pokud v Besselově diferenciální rovnici

z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}+(z^{2}- \nu ^{2})\omega =0

nahraďte za , bude mít tvar $\z$ $\iz$

z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}-(z^{2}+ \nu ^{2})\omega =0.\qquad (1)

Tato rovnice se nazývá upravená Besselova rovnice .

Jestliže není celé číslo, pak Besselovy funkce a jsou dvě lineárně nezávislá řešení rovnice . Funkce se však používají častěji $\nu$ $J_{\nu }(iz)$ $J_{-\nu }(iz)$ $(jeden)$

I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}J_{\nu }\left(ze^{\frac {i\pi }{ 2}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }}{k! \Gamma(k+\nu+1)}}

I_{-\nu }(z).

Říká se jim modifikované Besselovy funkce prvního druhu nebo Infeldovy funkce . Jestliže je reálné číslo a z je nezáporné, pak tyto funkce nabývají reálných hodnot. $\nu$

$\nu$ se nazývá pořadí funkce.

Funkce

K_{\nu }(z)={\frac {\pi }{2\sin \nu \pi }}{\biggl [}I_{-\nu }(z)-I_{\nu }( z){\biggr ]}

je také řešením rovnice . Nazývá se modifikovaná Besselova funkce druhého druhu nebo Macdonaldova funkce . To je zřejmé $(jeden)$

K_{\nu }(z)=K_{-\nu }(z)

a nabývá skutečných hodnot, pokud je skutečné číslo a je kladné. $\nu$ $z$

Funkce celočíselného řádu

Vzhledem k tomu , pro celek , jako základní systém řešení rovnice , vybereme a kde $I_{-\nu }(z)=I_{\nu }(z)$ $\nu$ $(jeden)$ $I_{n}(z)$ $K_{n}(z),$

K_{n}(z)=\lim \limits _{\nu \to n}K_{\nu }(z).

Rekurentní vztahy a derivační vzorce

Modifikované Besselovy funkce prvního druhu

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu }I_{\nu }(z){\Bigr ]}=z^ {\nu -m}I_{\nu -m}(z).

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }I_{\nu }(z){\Bigr ]}=z ^{-\nu -m}I_{\nu +m}(z).

I_{\nu -1}(z)-I_{\nu +1}(z)=2\nu z^{-1}I_{\nu }(z).

I_{\nu -1}(z)+I_{\nu +1}(z)=2I'_{\nu }(z).

Upravené Besselovy funkce druhého druhu

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu }K_{\nu }(z){\Bigr ]}=(- 1)^{m}z^{\nu -m}K_{\nu -m}(z).

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }K_{\nu }(z){\Bigr ]}=( -1)^{m}z^{-\nu -m}K_{\nu +m}(z).

K_{\nu -1}(z)-K_{\nu +1}(z)=-2\nu z^{-1}K_{\nu }(z).

K_{\nu -1}(z)+K_{\nu +1}(z)=-2K'_{\nu }(z).

Wronský systém modifikovaných Besselových funkcí

W\left[I_{\nu }(z),I_{-\nu }(z)\right]=-{\frac {2\sin(\nu \pi )}{\pi z)) .

W\left[I_{\nu }(z),K_{\nu }(z)\right]=-z^{-1}.

Integrální reprezentace

Modifikované Besselovy funkce prvního druhu

I_{\nu }(z)={\frac {2^{-\nu }z^{\nu }}({\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1 }{2))))}}\int _{0}^{\pi }e^{z\cos t}\left(\sin t\right)^{2\nu }dt,\qquad Re(\ nu )>-{\frac {1}{2)),\Gamma (z)

je funkce gama .

I_{\nu }(z)={\frac {2^{1-\nu }z^{\nu }}({\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac { 1}{2)))))\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2))}\cosh(zt)dt ,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}}.

I_{\nu }(z)={\frac {2^{-\nu }z^{\nu }}({\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1 }{2)))))\int _{-1}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2))}e^{-zt} dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}}.

I_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{z\cos t}\cos(nt)dt,\qquad n\in \mathbb {Z} ,Re(z)>0.

Upravené Besselovy funkce druhého druhu

{{K}_{\nu }}(z)=\int _{0}^{\infty }{{e}^{-z\cosh t}}\cosh(\nu t)dt, \qquad |Arg(z)|<{\frac {\pi }{2)).

{{K}_{\nu }}(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}({\left({\frac {z}{2}}\right)}^{ \nu ))}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2))))}}\int _{1}^{\infty }{{({{t}^{2}}- 1 )}^{\nu -{\frac {1}{2}}}}{{e}^{-zt}}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2} } ,|Arg(z)|<{\frac {\pi }{2)).

{{K}_{\nu }}(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}({\left({\frac {z}{2}}\right)}^{ \nu ))}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2))))}}\int _{0}^{\infty }{{e}^{-z\cosh t}} { {\left(\sinh t\right)}^{2\nu }}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2)),|Arg(z)|<{\ frac {\pi }{2}}.

Asymptotické chování

I_{\nu }(z)\varpropto {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1+O\left({\frac {1}{ z}}\right)\right),\qquad \left|Arg(z)\right|<{\frac {\pi }{2)),\left|z\right|\to \infty .

K_{\nu }(z)\varpropto {\sqrt {\frac {\pi }{2))}{\frac {e^{-z)){\sqrt {z))}\left( 1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right),\qquad \left|z\right|\to \infty .

Speciální případ:

K_{0}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z))}e^{-z}\sum \limits _{m=0}^{\infty }{\frac {\left[\left({2m-1}\right)!!\right]^{2}}{m!\left(-{8z}\right)^{m}}},\qquad \left| z\right|\to \infty ,\quad |\arg z|<2\pi

Poznámka

V Besselových j-funkcích existuje klasická Schlömilchova řada [1] [2]

Viz také

Cylindrické funkce

Literatura

Watson G. Teorie Besselových funkcí. T. 1, 2. - M.: IL , 1949.
Bateman G., Erdeyi A. Vyšší transcendentální funkce. Besselovy funkce, funkce parabolického válce, ortogonální polynomy: referenční matematická knihovna. — M.: Fizmatgiz , 1966. — 296 s.

Poznámky

↑ Ljachov L.N. Na Schlemilch j-series. Vědecká prohlášení. Řada "Matematika. Fyzika". 2013. č. 12 (155). Problém. 31.// https://cyberleninka.ru/article/n/oj-ryadah-shlemilha
↑ J.N. Watson. Teorie Besselových funkcí. (Rezervovat). Kapitola XIX. Řady Schlemilch

Odkazy

Weisstein, Eric W. Modified Bessel Function of the First Kind (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Modifikovaná Besselova funkce druhého druhu ve Wolfram MathWorld .